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1、6.1数列的概念与简单表示法一基础知识1数列的概念：按一定 排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做数列的 。从函数的角度看：数列可以看作是一个定义域为 或它的有限子集，当自变量从小到大依次取值时对应的一列 。2数列的表示方法：（1）列表法；（2）图示法：数列的图像是离散的点，而不是曲线； （3）通项公式法：用含 （4）递推公式法：3数列的分类：（1）按项数的多少可分为 和 ；（2）按数列中相邻两项的大小关系可分为 、 、 和 。4（1）数列的前项和： （2）： 二基本方法 用函数的思想方法处理数列问题（数列的本质是函数）（1）如何理解数列是函数？（2）如何求数列的通项公式？（3）如何判断
2、数列的单调性及求数列中的最大(小)项？(4)如何求数列的前n项和公式？三例题解析例1.根据下面各数列的前几项,写出数列的一个通项公式.（1） 已知数列 (2)已知数列1，3，5，7，(3)已知数列2，4，6，8， (4)已知数列1，(5)已知数列 （6）3,5,9,17,33 (7)例2. 已知数列中,且对于任意正整数,都有,写出数列的前5项,并猜想出它的通项公式.例3.已知下面各数列的前项和的公式,求的通项公式.(1) (2)例4.已知数列的通项公式为,试比较与的大小,并求出数列中的最小项.三、课后作业1.数列2,9,23,44,72,149,中,可能是( C ) A.82 B87 C107
3、 D1112.已知数列的前项和为,则的值为（B ）。A91 B152 C218 D2793.一给定函数的图象在下列图中,并且对任意,由关系式得到的数列满足,则该函数的图象是( A ). A B C D 4.数列的通项公式为,则273是这个数列的第 16 项.5.已知数列满足，则_1; 0 6.已知，则在数列的最大项为_（答：）；7.数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为_（答：）；8.已知数列中，且是递增数列，求实数的取值范围（答：）；9.在数列中,写出数列的前4项,并猜想出通项公式;10.已知数列中,其中,求证:对一切都有成立.证明:即对一切正整数都成立6.2等差数列及其前项和一知识内
4、容：1.基本概念：等差数列的有关定义：一般的，如果一个数列从 第二项 起，每一项与它的前一项的 差 都等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列.用符号表示为（为常量）.数列成等差数列的充要条件是,其中叫的 等差中项 .等差数列的有关公式：通项公式：=.前n项和公式：=.等差数列的有关性质：若d0，则数列为递增数列；若d0，则数列为 递减数列；若d=0，则数列为 常数列 ；若(),则有，特别的，当时 ，有.等差数列中，成等差数列.2.基本方法：等差数列五个基本量中，“知三求二”的问题.两个公式推导过程中所涉及到的数学基本方法：归纳猜想，叠加法，倒序相加；用函数的思想理解等差数列的通项公式与一次函
5、数之间的关系； 等差数列的前n项和公式与 二次函数之间的关系.等差数列的设法：三个数成等差数列时，一般设为； 四个数成等差数列时，一般设为 .等差数列的判定方法： 定义法， 等差中项法，.巧用性质，减少运算量.二.例题分析：例1. 选择题：已知等差数列中，则的值是（ D ）A .24 B.27 C.30 D.33 如果为各项都大于零的等差数列，公差，则（ B ）A. B. C. D.一个首项为23，公差为整数的等差数列，从第7项起为负数，则它的公差是（ C ）A. B. C. D.一个等差数列的前三项的和为34，后三项的和为146，所有项的和为390，则这个数列共有（ D ）项.A.10 B.
6、11 C.12 D.13已知等差数列中，,则取最大值时，的值是（ A ）A.6或7 B.7或8 C.6 D.8(6)已知数列中，且是递增数列，求实数的取值范围（答：）(7)等差数列中，则_（答：27）(8)在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，（这里即）；。如（a）在等差数列中，S1122，则_（答：2）；（b）项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.(9)等差数列中，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；(10)若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大正整数n是 （答：4006）例2.已
7、知数列的前项和为证明数列为等差数列；求数列的前项和答案：，证明略 例3. 已知两个等差数列中，分别表示它们的前项和，计算并观察试猜想，并说明理由.答案： 三.课后作业：1.选择题：. 已知在等差数列中，若则的值是（ C ）A.20 B.22 C.24 D.28. 一个等差数列的前5项之和为30，前10项之和为100，则这个数列前15项之和为（ C ）.A.130 B.170 C.210 D.260. 已知两个等差数列的前项和分别为，且，则使得为整数的正整数的个数是（ D ）A.2 B. 3 C. 4 D.5.已知等差数列中，,则取最大值时，的值是（ C ）A.5 B.6 C.7 D.8. 各项
8、均不为零的等差数列中，若，则等于（ D ） A0 B2 C2009 D4018 2.填空题：已知等差数列中，则 15 .在等差数列中，已知公差为，且则 145 .已知数列中，(4)等差数列中，则通项（答：）；(5)首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_（答：）(6)数列 中，前n项和，则，（答：，）；(7) 等差数列中， 18 3.解答题：在等差数列中，前项和为，已知令为数列的前项和：证明数列为等差数列； 求.答案：证明略 4.【2007理科10，文科】若数列的前项和，则此数列的通项公式为；数列中数值最小的项是第项（，3）5.（2008文科7）已知等差数列中，若，
9、则数列的前5项和等于（ C ）A30B45C90D1866.【2007理科15，文科16】数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列（I）求的值；（II）求的通项公式解：（I），因为，成等比数列，所以，解得或当时，不符合题意舍去，故（II）当时，由于，所以又，故当时，上式也成立，所以7. (08北京文20)数列满足，（），是常数（）当时，求及的值； ，（）数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（）求的取值范围，使得存在正整数，当时总有解：（）由于，且所以当时，得，故从而（）数列不可能为等差数列，证明如下：由，得，若存在，使为等差数列，则，即，解得于是，这与为等
10、差数列矛盾所以，对任意，都不可能是等差数列（）记，根据题意可知，且，即且，这时总存在，满足：当时，；当时，所以由及可知，若为偶数，则，从而当时，；若为奇数，则，从而当时因此“存在，当时总有”的充分必要条件是：为偶数，记，则满足故的取值范围是6.3等比数列及其前项和一知识内容：1.基本概念：等比数列的有关概念：等比数列的定义：一般的，如果一个数列从 第二项起，每一项与它的前一项的 比 都等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列.用符号表示为（为常量）等比中项：若成等比数列，则称叫的等比中项，且或.所以是三个数成等比数列的必要不充分条件.等比数列的有关公式：通项公式：=.前n项和公式：等比数列的有
11、关性质：若或则数列为 递增数列；若或则数列为递减 数列；若则数列为 常 数列；若则数列为 摆动数列.若(),则有，特别的，当时 ，有 当公比时，成等比数列.2.基本方法：等比数列五个基本量中，“知三求二”的问题.两个公式推导过程中所涉及到的数学基本方法：归纳猜想，叠乘法，错位相减；等比数列的判定方法：定义法，等比中项法.巧用性质，减少运算量.二.例题分析：例1. 选择题：在等比数列中，则等于（ B ）A. 70 B.40 C.30 D.90 设等比数列的公比，前项和为，则等于（ C ）A . 2 B. 4 C. D.已知是等比数列，则等于（ C ）A. B. C. D. 等比数列中，前项和为若数列也是等比数列，则等于（ C ）A. B. C. D. (5)一个等比数列共项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为_（答：）；(6)数列中，=4+1 ()且=1，若 ，求证：数列是等比数列。(7)等比数列中，前项和126，求和公比. （答：，或2）例2. 数列的前项和为设求证是等比数列设求证是等比数列 例3. 已知递增的等比数列满足,且是的等差中项.求数列的通项公式;若,是数列的前项和,求使成立的的最小值.解:（）设等比数列的公比为,依题意有, (1)又,将(1)代入得.所以.于是有 解得或 又是递增的,故. 所以.
