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1、在真理和认识方面，任何以权威者自居的人，必将在上帝的戏笑中垮台！ 爱因斯坦 行程之多人多次相遇第三讲教学目标行程问题是各种竞赛与小升初入学考试必考大题，其中多人多次相遇问题是行程问题中的难点，本讲从一般的相遇与追及问题出发，讨论在环形线路、变速变向等多种行程问题，并引伸到与行程问题相类似的钟面问题。1. 回顾火车过桥、流水行程等问题；2. 环形路线上的相遇和追及问题；3. 速度行程问题与比例关系；4. 钟面上的行程问题。专题回顾【例1】 一条船顺水航行48千米，再逆水航行16千米，共用了5小时；这知船顺水航行32千米，再逆水航行24千米，也用5小时。求这条船在静水中的速度。【分析】 这道题的数
2、量关系比较隐蔽，我们条件摘录整理如下：顺水逆水时间48千米16千米5小时32千米24千米比较条件可知，船顺水航行48千米，改为32千米，即少行了48-32=16（千米），那么逆水行程就由16千米增加到24千米，这就是在相同的时间里，船顺水行程是逆水行程的168=2倍。所以“逆水航行16千米”，可转换为“顺水航行162=32（千米），这样船5小时一共顺水航行18+32=80（千米），船顺水速为805=16千米，船逆水速为162=8（千米）。船静水速为（16+8）2=12（千米）。【例2】 甲、乙二人分别从、两地同时出发，往返跑步。甲每秒跑3米，乙每秒跑7米。如果他们的第四次相遇点与第五次相遇点的
3、距离是150米，求、两点间的距离为多少米？ 【分析】 （法一）画图分析知甲、乙速度比为：，第四次相遇甲乙共走：4217（个全程），甲走了：3721（份）在点，第五次相遇甲乙共走：5219（个全程），甲走了：3927（份）在点,已知是150米，所以的长度是1506（3+7）250（米）。（法二）也有不画图又比较快的方法：第四次相遇：（241）320余数为1 则在的位置，第五次相遇：（251）320余数为7 则在的位置，表示速度基数，（米），即全程为250米。【拓展】（08年首届奥数网杯）电子玩具车与在一条轨道的两端同时出发，相向而行。已知比的速度快，根据推算，第次相遇点与第次相遇点相距58厘米，
4、这条轨道长_ 厘米。【分析】 、两车速度比为；第次相遇点的位置在：；第次相遇点的位置在：所以这条轨道长（厘米）经典精讲环形跑道行程【例3】 如下图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形。甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？【分析】 当甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有米长。当甲、乙之间的距离等于300米时，即甲追上乙一条边（米）需（分），此时甲走了（条）边，所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。但是甲只要再走条边就可以看到乙了，即甲从出发走条边后可看到乙，共需（分），即分
5、秒。【例4】 甲乙两名选手在一条河中进行划船比赛，赛道是河中央的长方形，其中米，米，已知水流从左到右，速度为每秒1米，甲乙两名选手从处同时出发，甲沿顺时针方向划行，乙沿逆时针方向划行，已知甲比乙的静水速度每秒快1米，（、边上视为静水），两人第一次相遇在边上的点，那么在比赛开始的5分钟内，两人一共相遇几次？（5次）【分析】 设乙的速度为米/秒，则可列得方程：解得：。所以甲的速度为米/秒。甲游一圈需要秒，乙游一圈需要秒。5分钟内，甲游了3圈还多20秒，乙游了2圈还多秒。多余的时间不够合游一圈，所以两人合游了5圈。所以两人共相遇了5次。【例5】 （2005年小学生数学报优秀小读者评选活动）有一种机器
6、人玩具装置，配备长、短不同的两条跑道，其中长跑道长400厘米，短跑道长300厘米，且有200厘米的公用跑道(如下图)。机器人甲按逆时针方向以每秒6厘米的速度在长跑道上跑动，机器人乙按顺时针方向以每秒厘米的速度在短跑道上跑动。如果甲、乙两个机器人同时从点出发，那么当两个机器人在跑道上第迎面相遇时，机器人甲距离出发点点多少厘米?【分析】 第一次在点相遇，甲、乙共跑了400厘米(见左下图)。 第二次在点相遇（要排除甲还没有第二次上长跑道时可能发生的相遇事件），甲、乙共跑了700厘米(见右上图)。同理，第三次相遇，甲、乙又共跑了700厘米。共用时间 (400+700+700)(6+4)=180(秒)，
7、甲跑了6180=1080(厘米)，距点 40031080=120(厘米)。注：处理多次相遇问题时，有一种常见思考方法分段考虑。【例6】 （第五届“走进美妙的数学花园”决赛）如图，甲、乙两只蜗牛同时从点出发，甲沿长方形逆时针爬行，乙沿逆时针爬行若，且两只蜗牛的速度相同，则当两只蜗牛间的距离第一次达到最大值时，它们所爬过的路程的和为多少?【分析】 很显然，在这幅地图上最长的距离是长方形的对角线，如果两只蜗牛同时处于一条对角线的两端，那么这是这两只蜗牛之间的距离达到最大值.对角线有两条所以也应该分为两种情况：情况一；甲在点，乙在点，这种情况下乙走了整数圈，甲走了若干圈又一条短边，一条长边，设乙走了圈
8、，甲已走了圈.则可以列出不定方程：化简为，由于等式右边是24的倍数，所以x至少应该取12，此时，两只蜗牛共走了816。情况二：甲在点，乙在点，这种情况下乙走了若干圈又20，甲走了若干圈又10，设两只蜗牛分别行走了圈和圈，则可以列出不定方程：化简为，是方程的最小解，此时，两只蜗牛一共行走了788.显然情况二最先发生，所以当两只蜗牛间的距离第一次达到最大值时，它们所爬过的路程的和为788。事实上两只蜗牛在走过情况二之后各走了14，就变成了情况一的情形，如果在讨论两种情况之前就想到这一点，就可以少讨论一种情况了。【例7】 一个圆周长厘米，个点把这个圆周分成三等分，只爬虫，分别在这个点上。它们同时出发
9、，按顺时针方向沿着圆周爬行，速度分别是厘米/秒、厘米/秒、厘米/秒，只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？【分析】 （法一）先来详细讨论一下：先考虑与这两只爬虫，什么时候能到达同一位置。开始时,他们相差厘米,每秒钟能追上的路程为5-3=2(厘米)；(秒)因此，秒后与到达同一位置.以后再要到达同一位置，要追上一圈，也就是追上厘米,需要(秒)。与到达同一位置,出发后的秒数是，再看看与什么时候到达同一位置。第一次是出发后(秒)，以后再要到达同一位置是追上一圈,需要(秒)。与到达同一位置,出发后的秒数是，对照两行列出的秒数，就知道出发后秒3只爬虫到达同一位置。（法二）本题的数学模型，其实是一个数被除
10、余，这个数被除余6。设两个商分别为和，那么可得到等量关系式，整理得到，和是满足条件的最小自然数组。所以只爬虫出发后60秒多少时间第一次到达同一位置。【例8】 如图，在长为490米的环形跑道上，、两点之间的跑道长50米，甲、乙两人同时从、两点出发反向奔跑两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度提高了25，乙把速度提高了20结果当甲跑到点时，乙恰好跑到了点如果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从一开始算起，甲一共跑了多少米。【分析】 相遇后乙的速度提高20，跑回点，即来回路程相同，乙速度变化前后的比为，所以所花时间的比为。设甲在相遇时跑了6单位时间，则相遇后到跑回点用了5单位
11、时间。设甲原来每单位时间的速度，由题意得：解得：。从点到相遇点路程为，所以。两人速度变化后，甲的速度为，乙的速度为，从相遇点开始，甲追上乙时，甲比乙多行一圈， 甲一共跑了490（5040）502402690（米）。注：对于环形跑道问题，抓住相遇（或追及的）的路程和（或路程差）恰好都是一圈。（这是指同地出发的情况，不同地，则注意两地距离在其中的影响）。另外，本题涉及量化思想，即将比中的每一份看作一个单位，进一步来说，一个时间单位乘以一个速度单位，得到一个路程单位。（法二）设相遇处为点：因为甲前后速度比为，乙前后速度比为,所以，乙先后在处的时间比为,也即甲先后两段路程与所用的时间比也是，则甲所行段
12、路程与段路程之比为。所以，的路程为（米），BC的路程为（米）所以，在1个单位时间内的速度为：甲是 （米）；乙是 （米）。则甲追上乙的时间需要 （单位时间）所以，甲一共行全程是 （米）【例9】 乌龟和蜗牛赛跑，跑道是周长300厘米的等边三角形。它们从三角形的同一顶点同时出发，乌龟每分钟行50厘米，蜗牛每分钟行46厘米，它们每到三角形的一个顶点都要休息1分钟。出发后多长时间乌龟追上蜗牛? 【分析】 乌龟追上蜗牛有三种情况：蜗牛在某顶点刚休息完，正准备走时，乌龟到达该顶点(追上蜗牛)。此时，乌龟比蜗牛多走一周，本来应多休息3次，但因为乌龟在最后一个顶点尚未休息，而蜗牛已经休息完了，所以乌龟比蜗牛多休
13、息2次。 蜗牛在某顶点休息了一会儿，但还没休息完，乌龟到达该点(追上蜗牛)。此时，因为蜗牛最后一次还没休息完，所以乌龟比蜗牛多休息2次多，但不足3次。 乌龟在途中追上蜗牛(包括乌龟、蜗牛同时到达某顶点)。此时，乌龟比蜗牛多休息3次。 这三种情况到底发生哪种，这要根据乌龟、蜗牛的速度，每条边的长，到达每个顶点休息的时间等因素来确定。假设乌龟比蜗牛恰好多休息2次(即第种情况)。 设乌龟不算休息时间共行了分钟，因为蜗牛少休息2次(2分钟)，所以蜗牛共行分钟。根据乌龟比蜗牛多行1周(300厘米)，可得方程， 解得(分)。因为乌龟2分钟走一条边长，98是2的整数倍，乌龟刚好走到一个顶点，所以假设成立(即
14、第种情况成立)。乌龟休息了(分)，乌龟追上蜗牛共用(分)。 为什么要先假设第种情况?而不假设第种情况呢?事实上，我们先假设第种情况，解出乌龟行走的时间t后，要检验行走t分后，乌龟是否刚好走到一个端点。如果是，假设成立；如果不是，假设就不成立。例如，如果将例题中三角形周长改为330厘米，其它条件不变，那么解得(分)，乌龟共行(厘米)，因为每边长110厘米，5 275不是110的整数倍，所以第种情况不成立。 为了说明问题，在例题中我们再假设乌龟比蜗牛恰好多休息3次(即第种情况)。类似地，可以得到方程， 解得(分)。乌龟走2分钟休息1分钟， 。共休息54分钟。由此得乌龟追上蜗牛共用 (分)。我们检验一下出发后分钟，乌龟是否追上蜗牛。 乌龟走了分钟，共走(厘米)；蜗牛少休息3次，实际走了分钟，共走(厘米)。(厘米)，乌龟正好比蜗牛多走一周，乌龟在边上距点厘米处追上蜗牛。 从检验结果看，经过分钟，乌龟确实追上了蜗牛，但这不是乌龟第1次追上蜗牛，而是第7次追上蜗牛了! 式的解(分)，式的解(分)。由前面的解题过程知道，乌龟走分钟时在某顶点第1次追上蜗牛，此时蜗牛刚休息完，正准备走。当乌龟休息1分钟准备出发时，蜗牛已经走出46厘米，因为乌龟比蜗牛走得快，所以在下一个顶点处乌龟又追上正在休息的蜗牛。因为走完一条边乌龟需2分钟，蜗牛需分
