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1、专题三简单的几何证明与计算三角形全等【例1】(2016襄阳)如图，在ABC中，AD平分BAC，且BDCD，DEAB于点E，DFAC于点F.(1)求证：ABAC；(2)若AD2，DAC30，求AC的长分析：(1)先证DEBDFC得BC，由此即可证明；(2)先证ADBC，再在RtADC中，利用30角性质设CDa，AC2a，根据勾股定理列出方程即可求解解：(1)AD平分BAC，DEAB于点E，DFAC于点F，DEDF，DEBDFC90，又BDCD，RtDEBRtDFC(HL)，BC，ABAC(2)ABAC，BDDC，ADBC，在RtADC中，ADC90，AD2，DAC30，AC2CD，设CDa，则A
2、C2a，AC2AD2CD2，4a2a2(2)2，a0，a2，AC2a4三角形相似【例2】(2015岳阳)如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EFAM，垂足为点F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：ABMEFA；(2)若AB12，BM5，求DE的长分析：(1)由两角相等即可证明；(2)由勾股定理求出AM，得出AF，由ABMEFA得出比例式，求出AE，即可求解解：(1)四边形ABCD是正方形，ABAD，B90，ADBC，AMBEAF，又EFAM，AFE90，BAFE，ABMEFA(2)B90，AB12，BM5，AM13，AD12，F是AM的中点，AFAM6.5，A
3、BMEFA，即，AE16.9，DEAEAD4.9特殊四边形【例3】(2016贺州)如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EFAC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF.(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若AB，DCF30，求四边形AECF的面积(结果保留根号)分析：(1)过AC的中点O作EFAC，根据线段垂直平分线的性质，可得AFCF，AECE，OAOC，由AAS可证AOFCOE，可得AFCE，由此即可证明；(2)由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，利用三角函数求得CF的长，即可求解解：(1)O是AC的中点，且EFAC，AFCF，AECE，OAOC，四边形ABCD是
4、矩形，ADBC，AFOCEO，可证AOFCOE(AAS)，AFCE，AFCFCEAE，四边形AECF是菱形(2)四边形ABCD是矩形，CDAB，在RtCDF中，cosDCF，DCF30，CF2，四边形AECF是菱形，CECF2，四边形AECF是的面积为ECAB2 1(2016呼和浩特)如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACBECD90，D为AB边上一点(1)求证：ACEBCD；(2)求证：2CD2AD2DB2.解：(1)ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACBC，CDCE，ACBDCE90，ACEACDBCDACD，ACEBCD，可证ACEBCD(SAS)(2)ACB是等腰直角三角形，B
5、BAC45.ACEBCD，BCAE45，DAECAEBAC454590，AD2AE2DE2.由(1)知AEDB，AD2DB2DE2，即2CD2AD2DB22(2016齐齐哈尔)如图，在ABC中，ADBC，BEAC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：ACDBFD；(2)当tanABD1，AC3时，求BF的长解：(1)ADBC，BEAC，BDFADCBEC90，CDBF90，CDAC90，DBFDAC，ACDBFD(2)tanABD1，ADB90，1，ACDBFD，1，BFAC33(2016济宁)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CFCA，连接A
6、F，ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO.(1)已知EO，求正方形ABCD的边长；(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明解：(1)四边形ABCD是正方形，CABC.CFCA，CE是ACF的角平分线，E是AF的中点E，O分别是AF，AC的中点，EOBC，且EOCF，CACF2EO2，BC2，正方形ABCD的边长为2(2)EMCN.证明：CE平分ACB，OCMBCN，四边形ABCD是正方形，ACBD，ABC90，COMCBN90，OCMBCN，.EOBC，OEMBCM，即EMCN1(2016大庆)如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点
7、F，交AD于点E.(1)求证：AGCG；(2)求证：AG2GEGF.解：(1)四边形ABCD是菱形，ABCD，ADCD，ADBCDB，可证ADGCDG(SAS)，AGCG(2)ADGCDG，EAGDCG，ABCD，DCGF，EAGF，AGEAGE，AGEFGA，AG2GEGF2(2016内江)如图，ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AFBD，连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)若ABAC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论解：(1)AFBC，AFEDCE，点E为AD的中点，AEDE，可证AEFDEC(AAS)，AFCD，AFB
8、D，BDCD，D是BC的中点(2)若ABAC，则四边形AFBD是矩形证明：AFBD，AFBD，四边形AFBD是平行四边形，ABAC，BDCD，ADBC，ADB90，平行四边形AFBD是矩形3(2016北京)如图，在四边形ABCD中，ABC90，ACAD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.(1)求证：BMMN；(2)若BAD60，AC平分BAD，AC2，求BN的长解：(1)在CAD中，M，N分别是AC，CD的中点，MNAD，MNAD，在RtABC中，M是AC的中点，BMAC，ACAD，MNBM(2)BAD60，AC平分BAD，BACDAC30，由(1)可知BMACAMMC，BM
9、CBAMABM2BAM60，MNAD，NMCDAC30，BMNBMCNMC90，BN2BM2MN2，由(1)可知MNBMAC1，BN4(导学号59042292)(2016威海)如图，在ABC和BCD中，BACBCD90，ABAC，CBCD.延长CA至点E，使AEAC；延长CB至点F，使BFBC.连接AD，AF，DF，EF，延长DB交EF于点N.(1)求证：ADAF；(2)求证：BDEF；(3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由解：(1)ABAC，BAC90，ABCACB45，ABF135，BCD90，ACDACBBCD135，ABFACD，CBCD，CBBF，BFCD，可证ABFACD(S
10、AS)，ADAF(2)由(1)知AFAD，ABFACD，FABDAC，BAC90，EABBAC90，EAFBAD，可证AEFABD(SAS)，BDEF(3)四边形ABNE是正方形理由如下：CDCB，BCD90，CBD45，又ABC45，ABDABCCBD90，由(2)知EAB90，AEFABD，AEFABD90，四边形ABNE是矩形，又AEAB，四边形ABNE是正方形5(导学号59042293)(2016泰安)如图，在四边形ABCD中，AC平分BCD，ACAB，E是BC的中点，ADAE.(1)求证：AC2CDBC；(2)过E作EGAB，并延长EG至点K，使EKEB.若点H是点D关于AC的对称点
11、，点F为AC的中点，求证：FHGH；若B30，求证：四边形AKEC是菱形解：(1)AC平分BCD，DCAACB.又ACAB，ADAE，DACCAE90，CAEEAB90，DACEAB.又E是BC的中点，AEBE，EABABC，DACABC，ACDBCA，AC2CDBC(2)连接AH.ADCBAC90，点H，D关于AC对称，AHBC.EGAB，AEBE，点G是AB的中点，HGAG，GAHGHA.点F为AC的中点，AFFH，HAFFHA，FHGAHFAHGFAHHAGCAB90，FHGHEKAB，ACAB，EKAC，又B30，ACBCEBEC.又EKEB，EKAC，四边形AKEC是平行四边形，又ACEC，四边形AKEC是菱形
