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1、2012-2013学年1.（6分）设，求.解：，2分，2分=.2分2. (12分)(12分)设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。随机的取一个地区的报名表，从中先后抽取两份。(1) 求先抽到的一份是女生表的概率；(2) 已知后抽到的一份表是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。解：记=抽到第i地区考生的报名表,i=1,2,3.=第j次抽到的报名表是男生的,j=1,2.2分2分又因为2分2分2分2分3、(10分)甲、乙、丙三人独立的向同一飞行目标各射击一次，击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。如果只有一人击中，则目标被击落的概率为0.
2、2；如果有两人击中，则目标被击落的概率为0.6；如果三人都击中，则目标一定被击落。求目标被击落的概率。解：设A表示“目标被击落”，依次表示“甲、乙、丙击中目标”，表示“有i个人击中目标”，i=1，2，3。则有题设有：2分同理 2分2分由全概率公式得： 2分2分解2分知3分1分5、(4分)已知盒子里有10张卡片，上面分别标有号码（1号10号），从中抽取5次，每次随机地取一张，观察其上的号码后放回设X表示观察到奇数号码的次数，则随机变量X服从什么分布（指出其参数）.答：(4分)b(5,0.5). 仅说明分布，没有写出参数2分7、(14分)设随机变量X服从标准正态分布(已知)。(1) 写出X的概率密
3、度；(2) 随机变量，求Y的概率密度；(3) 随机变量, 求Z的分布律.解：(1) , 2分(2) 1分2分3分(3)2分2012-2013学年某些标准正态分布的数值其中是标准正态分布的分布函数一（本题满分5分） 口袋中有10个球，分别标有号码1到10，从中任意取出4个球求最小号码是5的概率 解： 设“取出4个球，最小号码是5” 10个球取出4个球，有取法种.2分 若最小号码是5，有取法种，因此 .3分二（本题满分5分） 一间宿舍住有5位同学，求他们之中至少有两位的生日在同一个月份的概率 解： 设“5位同学至少有两位的生日在同一月份” 5位同学，每一位在12个月份中任意选择，共有种可能.2分
4、考虑的逆事件，它表示5位同学中，没有两位的生日是同一月份的则 .3分三（本题满分8分）， 已知男人中的是色盲患者，女人中色盲患者占，今从男女比例为的人群中随机地挑选一人，发现是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 解： 设“任选一人为男性”，“任选一人是色盲患者” 所求概率为由Bayes公式，得 .3分 .5分四（本题满分8分） 在一小时内，甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是，和，而且这三台机床是否需要维修是相互独立的求在一小时内 至少有一台机床不需要维修的概率；（4分） 至多只有一台机床需要维修的概率（4分） 解： 设，则 .2分 .2分 .2分 .2分五（本题满分8分） 试确定常数，的
5、值，使得函数为一连续型随机变量的分布函数 解： 因为连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此函数在分段点及处连续，所以有 ，即有.2分 ，即有.2分 又分布函数必须满足：，因而有 ，.2分由此得方程组 ，解此方程组，得 .2分六（本题满分8分） 某地区成年男子的体重（以计）服从正态分布若已知， 求与的值； 如果在该地区随机抽取5名成年男子，求至少有两个人的体重超过的概率 解： 由已知， .2分得 即 ，查正态分布表，得 ，解方程组，得，.2分 设“从该地区任意选取一名成年男子，其体重超过”则 .2分 设：该地区随机抽取的5名成年男子中体重超过的人数则 设“5人中至少有两人的体重超过则 （已知，
6、）.2分十二（本题满分8分） 一家有间客房的旅馆的每间客房装有一台（千瓦）的空调机，该旅馆的开房率为求需要多少电力，才能有的可能性保证有足够的电力使用空调机 解： 设：该旅馆开房数目，则.2分 ：向该旅馆供应的电力则若电力足够使用空调机，当且仅当因此 由题设，.3分查表，得 ，.1分所以有 即至少向该旅馆供电千瓦，才能保证该旅馆的空调机正常使用.2分2011-2012学年一（本题满分8分） 在某个社区，60%的家庭拥有汽车，30%的家庭拥有房产，而20%的家庭既有汽车又有房产现随机地选取一个家庭，求此家庭或者有汽车或者有房产但不是都有的概率 解： 设“任取一个家庭拥有汽车”，“任取一个家庭拥有
7、房产”由题设得 ，因此有 ； 所求概率为 二（本题满分8分） 假设一个人在一年中患感冒的次数服从参数为的Poisson分布现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数降为（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数降为（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？ 解： 设， 由题设，可知如果事件发生，则服从参数为的Poisson分布；如果事件发生，则服从参数为的Poisson分布；如果事件发生，则服从参数为的Poisson分布因此，由Bayes公式，我们有 三（本题满分8分） 某人住家
8、附近有一个公交车站，他每天上班时在该站等车的时间（单位：分钟）服从的指数分布，如果他候车时间超过分钟，他就改为步行上班求他一周天上班时间中至少有天需要步行的概率 解： 的密度函数为 设“候车时间超过5分钟”，则 设：一周5天中他需要步行上班的天数则，因此所求概率为 四（本题满分8分） 设随机变量的密度函数为 求常数； 求的分布函数 解： 由密度函数的性质，得 ，解方程，得 当时，； 当时，； 当时， 综上所述，随机变量的分布函数为八（本题满分8分） 某药厂断言，该厂生产的某种药品对治愈一种疑难的血液病的治愈率为医院检验员任意抽查个服用此药品的病人，如果其中多于人治愈，就接受这一断言；否则就拒绝
9、这一断言试用中心极限定理计算， 如果实际上对这种疾病的治愈率确为，问拒绝这一断言的概率是多少？ 如果实际上对这种疾病的治愈率为，问接受这一断言的概率是多少？ （附，标准正态分布的分布函数的某些数值： 解： 设：100位服用此药品的病人中治愈此病的人数，则 当时， 当时， 十二（本题满分10分） 三个朋友去喝咖啡，他们决定用如下的方式付账：每人各掷一枚均匀的硬币，如果某人掷出的结果与其余两人的不一样，则由该人付账；如果三人掷出的结果都一样，则重新掷下去，直到确定了由谁付账时为止求： 抛掷硬币次数的分布律；（5分） 进行了3次还没确定付账人的概率（5分） 解： 的取值为并且 ， 即随机变量服从参数
10、的几何分布 2011-2012学年一.（满分6分）已知，求,.解： 2分2分2分四(满分10分)某传染病的发病率为3% , 为查出这种传染病，医院采用一种新的检验法，它能使98%的患有此病的人被检出阳性，但也会有0.5%未患此病的人被检出阳性。 求：(1)某人被此法检出阳性的概率；(2) 若某人已用此检验法检出阳性，实际上此人并未患这种传染病的概率。解：设事件某人被此法检出阳性，此人确实患有这种传染病。则 3分（1）由全概率公式 3分（2）由贝叶斯公式得所求概率为. 4分2010-2011学年一（本题满分8分） 一间宿舍内住有6位同学，求这6位同学中至少有2位的生日在同一个月份（不考虑出生所在
11、的年份）的概率 解： 设“6位同学中至少有2位的生日在同一个月份”所求概率为.1分考虑事件的逆事件： “6位同学的生日各在不同的月份”.1分 .2分 .2分 .2分二（本题满分8分） 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是，和如果他乘火车、轮船、汽车、飞机来的话，迟到的概率分别为、，结果他未迟到，试问他乘火车来的概率是多少？ 解： 设“朋友来访迟到”， “朋友乘火车来访”， “朋友乘轮船来访”， “朋友乘汽车来访”， “朋友乘飞机来访”.1分所求概率为，由Bayes公式得 .1分 .2分 .2分 .2分三（本题满分8分） 设随机变量的密度函数为试求随机变量的分布函数 解： 当时， ； .1分 当时， ；.2分 当时， ；.2分 当时， .2分 因此，随机变量的分布函数为 .1分四（本题满分8分） 试决定常数，使得，为某一离散型随机变量的分布列，其中为参
