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1、函数概念的形成微积分是以变量和函数作为研究对象的。但是微积分问世时，函数的一般定义还没有出现。随着数学研究范围的扩大，研究问题的深入，函数概念经历了由不全面到全面，不严密到严密的发展过程。在17世纪，数学已经出现了三角函数，对数函数、指数函数、代数函数，超越函数等概念。当时还没有充分认识到函数概念。因此，17世纪引进的绝大部分函数是当作曲线来研究的。最早给出函数概念的明确定义的是James Gregrory,1667年，他的函数定义为：“它是从一些其它的量经过一系列代数运算而得到的，或者是经过任何其它可以想象的运算而得到的。”这最后一句话的意思，据他解释是“除了五种代数运算外，必须加上第六种运
2、算即趋于极限的运算。”Gregory的函数定义是一系列运算的组合。莱布尼茨首次用“ function ” 一词表示幂，即 。1673年，他用 “ function ” 一词表示任何一个随曲线上的点的变动而变动的量。记号 是欧拉1743年引进的。当时，欧拉认为函数是一条可以随意描绘出的曲线。1748年欧拉把函数定义为由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式。上述种种函数定义，用现在的观点看，无非是函数表示法中的解析表示法和图象表示法。1775年欧拉又给出一个新的函数定义：如果一个变量依赖于另一个变量，使当后一个变量变化时，前一个量也随着变化，那么称第一个量是第二个量的函数。虽然18世纪对
3、函数概念有多种不同的抽象和理解，但占统治地位的函数概念是：函数是由一个解析表达式给出的。从上述函数概念的发展变化过程可看出，这些函数概念是人们对各种具体的函数关系的不断和反复认识，经过抽象得出的，但都反映了一个量对另一量的依赖关系，都是“变化”和“运动”的辩证唯物主义观点的抽象。在18世纪，由于函数概念的较全面、较完整的定义尚未形成，因而，在理论和实践上产生了许多尖锐的矛盾。最具代表性的是描述弦振动的偏微分方程的解的形式问题。描述与反映弦振动的数学形式是一个二阶偏微分方程，它的解是一个函数，由于这个方程的解是一个一般的函数，因而引起了长达几十年的关于函数的争论。后来，富里埃用三角级数表示了这个
4、解析表达式，并用积分形式确定了三角级数的系数。这一发现使人们认识到解析表达式和曲线之间是可以互相转化的。它们不是函数的本质，只是函数的表现形式。1837年高斯和雅可比（1804-1851）的学生，黎曼的指导老师狄利克雷（1805-1859）给出了一个函数定义，这个定义与现代的工科数学教材的定义十分接近。他说：“如果对于某区间上的每一个确定的x值，按照某一法则y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x函数。”狄利克雷的定义一方面继承了欧拉等人关于函数概念的精神，又打破了把“函数”和“解析式子”等同起来的局限性，抓住了两个变量对应关系的确定存在这一要害，而不管它是否可用数学运算来表达。从而使函数概念能
5、更准确地描述各种互相依赖的变量之间的关系。但是随着科学技术及数学学科本身的发展，这个以变量概念作为函数概念的定义逐渐暴露出不足之处。20世纪初，又给出了下面的函数定义：“设x和y是两个非空集合，如果对于每个X中的元素x，依照某一法则，总有确定的一个Y中的y和它对应，这个对应法则就叫做函数”。这就是说，函数是非空集合X到非空集合Y的一个映射。这个定义明显地不同于狄氏的定义，其一是用两个集合X和Y取代了定义在区间上的变量x和y，其二是将两个集合X和Y之间的确定的对应法则即映射叫做函数，而不是把某一变量叫做函数。这个定义使我们可以将函数概念推广到以任何对象为元素的两个集合之间，这就极大地扩展了函数概念建立的基础，适应了现代数学对函数概念的需要。从上面的介绍我们可以看到，函数概念从提出到完成，用了二百多年的时间。从函数概念建立的过程我们可以看出，人们对函数概念的认识是随着科学和数学学科本身的不断发展、不断深入而不断深化、不断完善的。注：“函数”一词的由来。1859年我国清代数学家李善兰翻译代数学一书时首先用“函数”一词翻译“function”一词，他解释说：“凡此变数函彼变数，则此为彼之函数”。中国古代用天、地、人、物表示未知数。李善兰译代数学中有“凡式中含天，为天之函数”这样的语句。1
