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1、积分公武及换元法解决了幕函数9指数函数三角函数9禱理函数勺无理数刃复合函数的积分两类函数的乘积如何积分?5.5分部积分法问题Jxexdx=?解决思路逆用两个函数乘积的求导法则.设函数M=眈（兀）和卩=卩（兀）具有连续导典，3j=uv+uvv=3j-必，亟亟juvrdx=wv-juvdx=judv=uvvdu不易积易于积分部积分公式|xexdx=jxdex=xex-jexdx=xex-ex+Cudv=uv-vdu例1求积分|xcosxdx解_1x2x2Jxcosxdx=jcosxd(-x2)=-cosx+J-sinxrfx显然，积分更难进行.解二_JsinxdxJXcosxdx=Jxrfsinx
2、=xsinx=xsinx+cosx+Cudv=uv-vdu例2求积分jx2exdx解x2exdx=x2dex=x2ex-lxexdx（再次使用分部积分法）=x2ex-2（xex-ex）+C.幕函数J三角函数（指数函数=幕函数=i/下幕函数）例3xarctanxdr.1解|xarctanxdx=jarctanxd(-x2)=-arctanx-|(arctanx)22vXfX1,=arctanxax2J21+x2JC211=arctanx-|-(1)dx2J21+x2兀21=arctanx(x-arctanx)+C.22例4求积分J兀In敢ir解Jx3lnxdx=jlnxd(x4)=-x4lnx-
3、fx3dx=-x4lnx-x4+C.44J416幕函数j反三角函数l对数函数J反三角函数I对数函数（留下反三角函数对数函数x=esmx例5求积分J/sinjnZr解J/sinxdx=Jsinxde=exsinx-jexd(sinx)一Jq*cosxdx=exsinx-jcosxdex=exsinx-(excosx-jexdcosx)=ex(sinx-cosx)-jexsinxdx注意循环形式!r.exjexsinxtir=(sinx-cosx)+C例6求积分Jsm(lnx)dr.解本题将换元积分法和分部积分法结合使用令m=lnx,贝此=ell,dx=eudujsin(lnx)dx=Je11si
4、nudusin(lnx)dx(sinw-cosw)+C=qsin(lnx)-cos(lnx)+C.求两个函数乘积的不定积分，一般采用分部积分合理选择U,V，正确使用分部积分公式udv=uv-vdu幕函数J三角函数（指数函数n留下幕函数幕函数j反三角函数I对数函数反三角函数t对数函数在接连几次应用分部积分公式时，应注意前后几次留下的应为同类型函数.I亠vr八rarctanxf例7求积分J+兀2dxfrxarctanxf1farctanx2x=Jarctanxd1+x2=、1+x2arctanx一J、1+x2rf(arctanx)dx=a/1+x2arctanx-a/1+x2J1+x=a/1+x2
5、arctanx一|dxJx/1+X2=/l+x2arctanx-ln(x+/l+x2)+Ce例8求积分J詳亍必解1Cedx=-xexd=-Xe+d(xex)J(l+x)Jl+x1+XJ1+X1+XJl+xl+xJxexcx=+ex+C=+Cl+xl+xJ(l+x)J(l+x)J1+XJ(l+x)冷店J乙必+仁毎丹c例9已知f(兀)的一个原函数是r,xff(x)dx解JxfXx)dx=|xdf(x)=xf(x)-Jf(x)dx9vJf(x)dx=ex+C,2两边同时对兀求导，得/(兀)=-2壮，Jxff(x)dx=xf(x)-Jf(x)dx=-2x2ex-ex2+C练习112f23xjA2“3兀
6、厶兀-丄3xt/nrl.jxedx=jxegxe+帀Q+C令、G=t2.Jedx2妙力=2严（肩_1）+C3.(arctan打JXx=xarctan+-ln(l+x2)+Cx24.JaCSnrfx=2Jarcsinxrf(Vx+l)=2Vx+Larcsinx+4jl_兀+5tanx=secxtanx-作业：5.35(偶数)、6xsecxdx5.44(2,3)5=secxtanx-J(sec2x-l)secxdrdcosx=fxd()cosxJ4cosx4v-fsec2xdtanx=secxtanx-(sec3xd:+Jsecxdx=fxsinx.6j-dx=-JcosxJ=-xsec4x-fsec4xdx=-xsecx444
