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1、高考模拟试题二 数学试卷（理科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。第卷（选择题共40分）参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式sincos=sin（）+ sin（）S台侧=cossin=sin（） sin（）其中c，c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长coscos=cos（）+ cos（）sinsin=cos（）cos（）一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）焦点坐标为（2，0）的抛物线的标准方程为 （ ） （A）y2 = 4x（B）y2 = 8x
2、（C）y2 =4x（D）y2 =8x（2）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1在六个面上的射影长度的总和是 （ ） （A）6（B）6（C）3（D）3（3）已知等差数列an的前n项和为18，若S3 = 1，an + a+ a= 3，则n的值为 （ ） （A）9（B）21（C）27（D）36（4）若x（），则满足cosx =的x值是 （ ） （A）arc cos（B）-arc cos（C）-arc cos（D）（5）设映射f ：xx2 + 2x是实数集M到实数集N的映射，若对于实数pN，在M中不存在原象，则p的取值范围是 （ ） （A）（1，+）（B）1，+ （C）（，1）（
3、D）（，1（6）设M =（）（）（），且a + b + c = 1（a、b、cR+），则M的取值范围是 （ ） （A）0，（B）（，1）（C）1，（D）8，+ （7）函数f（x）在R上是增函数，A（0，2）、B（4、2）是其图象上的两个点，则不等式| f（x + 2）|2的解集是 （ ） （A）（，2）（2，+）（B）（2，2）（C）（，0）（4，+）（D）（0，4）（8）某次数学考试中，学号为i（1i4，且iN）的四位同学的考试成绩f（i）89，90，91，92，93且满足f（1）f（2）f（4），则这四位同学考试成绩的所有可能情况是 （ ） （A）24（B）15（C）12（D）10第卷（非
4、选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.（9）已知f（x）= sin（x +），g（x）= cos（x），则函数y = f（x）g（x）的周期为_；最大值为_.（10）若复数z满足| z + 1 | + | z1 | = 2，那么| z + i +1 |的最小值是_.（11）若f（x）（xR）是以3为周期的奇函数，且f（1）1，f（2）= a，则a的取值范围是_.（12）已知椭圆的一条准线方程为y = 7，则椭圆的离心率为_.（13）已知一个正方形的边长为1cm，以它的对角线为边作一个新的正方形，再以新的正方形的对角线为边作正方形，这样继续下
5、去，共作了六个正方形，那么第六个正方形（包括已知正方形）的边长是_；第六个正方形的面积是_.（14）正三棱台ABCA1B1C1的侧棱长为，下底面边长为3，侧棱AA1与相对侧面BB1C1C垂直，则正三棱台的斜高为_；侧面积为_.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分12分） 已知a0，解关于x的不等式2x + a.（16）（本小题满分13分）已知函数f（x）=xcosxcos2x（0）的周期为.（）求的值及f（x）的表达式；（）设ABC的三边a、b、c满足b2 = ac，且边b所对的角为x，求此时函数f（x）的值域.（17）（本小题满
6、分14分）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1，D是棱AC的中点.（）证明：AB1平面DBC1；（）若AB1BC1，AC = 2，求二面角DBC1C的大小.（18）（本小题满分13分）已知f（x）是定义在R上的增函数，设F（x）= f（x）f（ax）.（）用函数单调性定义证明F（x）是R上的增函数；（）证明：函数y = F（x）的图象关于点（）成中心对称图形.（19）（本小题满分13分）为了能更好地了解鲸的生活习性，某动物研究所在受伤的鲸身上安装了电子监测装置，从海岸放归点A处（如图所示）把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对鲸进行了40分钟的跟踪观测，每隔10分钟踩点测得数据如下表（设鲸沿
7、海面游动）.然后又在观测站B处对鲸进行生活习性的说细观测. 已知AB = 15km，观测站B的观测半径为5km.观测时间t（分钟）跟踪观测点到放归点距离a（km）鲸位于跟踪观测点正北方向的距离b（km）10112023034042 （）根据表中数据：（1）计算鲸沿海岸线方向运行的速度，（2）写出a、b满足的关系式并画出鲸的运动路线简图；（）若鲸继续以（）（2）中的运行路线运动，则鲸经过多少分钟（从放归时计时），可进入前方观测站B的观测范围.（6.4）（20）（本小题满分15分） 已知F1，F2是双曲线（a0）的左、右焦点，A、B是双曲线右支上不同于顶点的两点，M、N分别为AF1F2、BF1F2
8、的内切圆的圆心.（）设圆M与F1F2相切于P点，求证：|PF1|PF2| = 2a；（）求证：直线MN与y轴平行；（）如果点F2在线段AB上，直线AB的倾斜角的正倾值的正弦值为，且| MN | =，求此双曲线的方程 .数学（理科）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）（1）D （2）A （3）C （4）C （5）A （6）D （7）B （8）B二、填空题（每小题5分，其中第一空3分，第二空2分，共30分）（9）； （10）1（11）（，1） （12）或（13）4cm；32cm2（14）1；6三、解答题（共80分）（15）解：原不等式的解集是下面不等式组及的解集的并集：0,0,0,(2x
9、 + a)2 . （3分）0 或 （6分）由于a0， 解不等式组得解集 x |x0 ， （8分）解不等式组得解集 x |ax ， （10分）所以原不等式的解集为x |ax0 . （12分）（16）解（）f（x）= = sin（2）. （3分）由函数f（x）的周期T =，得= 2. （5分）函数f（x）的表达式为f（x）= sin（4x）. （6分）（）由题意，得cosx =, （9分） 0x,0x.4x.（11分）sin（4x）1，1sin（4x）.函数f（x）的值域为1，. （13分）（17）证明（）连结B1C与BC1交于E点，连结DE.ABCA1B1C1是正三棱柱，四边形BB1C1C是矩形
10、，B1E = EC，AD = DC，DEAB1，DE平面DBC1，AB1平面DBC1，AB1平面DBC1. （6分）解（）过D作DFBC于F，连结FE， ABCA1B1C1是正三棱柱，平面ABC平面BB1C1C.DFBC，DF平面ABC，DF平面BB1C1C，EF是DE在平面BB1C1C内的射影，AB1BC1，AB1DE，DEBC1，EFBC1，DEF就是二面角DBC1C的平面角. （10分）ABC是正三角形，ACB = 60，AC = 2，DC = 1.在RtDFC中，DF = DCsin60=，DEBC1，E为BC1中点，C1D = BD =，C1C =，C1B =，在RtDEC1中，DE
11、 =sinDEF =，DEF = 45二面角DBC1C的大小为45 （14分）（18）证明（）任取x1，x2R，且x1x2，则F（x1）F（x2）= f（x1）f（ax1） f（x2）f（ax2） =f（x1）f（x2）+ f（ax2）f（ax1）， （3分）f（x）是R上的增函数，f（x1）f（x2）0.又x1x2，得ax2ax1，由f（x）的递增性，得f（ax2）f（ax1）0.F（x1）F（x2）0，即F（x1）F（x2）.故F（x）在R上为增函数. （7分） （）设A（x，y）为函数y = F（x）图象上的任一点，则A（x，y）关于点（）为中心对称的点A（ax，y），由题意知只要证对任
12、意xR，均有F（x）= F（ax）即可. （9分）任取xR，则F（ax）= f（ax） f a（ax） = f（ax）f（x） =f（x）f（ax） =F（x）.故F（x）的图象关于点（）成中心对称图形. （13分）（19）解（）由表中数据知（1）鲸沿海岸线方向运行的速度为（km/分钟）.（2）a，b满足的关系式为b =.鲸的运动路线图为 （6分）（）以点A为坐标原点，海岸线AB为x轴，建立直角坐标系，如图，设鲸所在的位置为点P（x，y），由（）知y = 又B（15，0），依题意知，观测站B的观测区域为(x15)2 + y225（y0）， 又y =， (x15)2 + x25， （10分）即x229x + 2000.11.3x17.7 （12分）故鲸从A点进入前方观测站B所用的时间为分钟.答：鲸大约经过113分钟进入B站的观测范围. （13分）（20）证（）设圆M分别与AF1、
