《19_3501664_7.巧用四点共圆.构圆妙解向量模的范围》由会员分享，可在线阅读，更多相关《19_3501664_7.巧用四点共圆.构圆妙解向量模的范围（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)巧用四点共圆.构圆妙解向量模的范围一类向量模的范围问题的统一解法 我们知道对角互补的四边形是圆内接四边形,巧用该结论构圆,把一问题转化为圆中的问题,可妙解一类向量模的范围,构圆解题把向量“形”的特性运用到了极致.母题结构:设向量a,b,c满足:|a|=a,|b|=b,=,=-,则|c|的最大值是.母题解析:设=a,=b,=c,则由=,=-AOB=,ACB=-O、A、C、B四点共圆,设为圆M,如图,则|c|的最大值是2r,其中,r是圆M的半径;在OAB中,AB2=a2+b2-2abcos,2r
2、=2r=|c|的最大值是;该结论的实质是圆中弦的最大值是圆的直径;由几何直观还可知,|c|max|a|,|b|,因此可得|c|的取值范围. 1.利用直角构圆 子题类型:(2008年浙江高考试题)己知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)(b-c)=0,则|c|的最大值是( ) (A)1 (B)2 (C) (D)解析:设=a,=b,=c,则AOB=,由(a-c)(b-c)=0ACB=O、A、C、B四点共圆,设为圆M|c|的最大值是2r,其中,r是圆M的半径=|c|的最大值是.故选(C).点评:本题利用ab和(a-c)(b-c)=0,即AOB=ACB=来隐含O、A、C、B四点
3、共圆,并巧妙设置|c|的最大值=|a-b|. 2.利用补角构圆 子题类型:(2011年全国大纲卷高考试题)设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,ab=-,=600,则|c|的最大值等于( ) (A)2 (B) (C) (D)1解析:设=a,=b,=c,由ab=-=1200AOB=1200;又由=600ACB=600O、A、C、B四点共圆,设为圆M|c|的最大值是2r,其中,r是圆M的半径,2r=2|c|的最大值是2.故选(A).点评:本题利用ab=-,=600,即AOB=1200,ACB=600,即AOB与ACB互补来隐含O、A、C、B四点共圆,高考命题专家利用圆来命制该题的痕迹明显. 3.
4、利用圆内角构圆 子题类型:(2011年辽宁高考试题)若a,b,c均为单位向量,且ab=0,(a-c)(b-c)0,则|a+b-c|的最大值为( ) (A)-1 (B)1 (C) (D)2解析:设=a,=b,=c,由ab=0AOB=,由(a-c)(b-c)0ACB点C在OAB的外接圆M内;又由|=1点C在以O为圆心,半径为1圆上;设=+,则|a+b-c|=|-|AD=1.故选(B).点评:本题是母题生成的一个绝佳试题,实质上还可得到:|a+b-c|-1;由圆命题可进行如下两个方向的拓展:把待求向量的终点限定在不在圆外或不在圆内;改变扩充共圆条件,如模相等的向量等. 4.子题系列:1.(2008年
5、浙江高考试题)(文)己知a是平面内的单位向量,若向量b满足b(a-b)=0,则|b|的取值范围是 .2.(2010年浙江高考试题)已知平面向量,(0,),满足|=1,且与-的夹角为1200,则|的取值范围是 .3.(2009年全国高考试题)设a,b,c是单位向量,且ab=0,则(a-c)(b-c)的最小值为( )(A)-2 (B)-2 (C)-1 (D)1-4.(2013年湖南高考试题)已知a,b是单位向量,ab=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为( )(A)-1 (B) (C)+1 (D)+25.(2013年湖南高考试题)已知a,b是单位向量,ab=0.若向量c满足|c-
6、a-b|=1,则|c|的的取值范围是( )(A)-1,+1 (B)-1,+2 (C)1,+1 (D)1,+26.(2013年安徽江南十校联考试题)已知向量a,b满足|a|=|b|=ab=2,且(a-c)(b-2c)=0,则|b-c|的最小值是 .7.(2009年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=2,|c|=1,(a-c)(b-c)=0,则|a-b|的取值范围是 .8.(2014年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知向量、是平面内两个互相垂直的单位向量,且(3-)(4-)=0,则|的最大值是 . 5.子题详解:1.解:设=a,=b,由b(a-b)=0ABO=点B在
7、以OA为直径的圆上OBOA=1|b|1|b|0,1.2.解:设=,=,由与-的夹角为1200OAB=600OAB外接圆的直径2r=|2r=|的取值范围是(0,.3.解:设=a,=b,由ab=0|a+b|=(a-c)(b-c)=ab-(a+b)c+c2=1-(a+b)c1-|a+b|c|=1-.故选(D).4.解:设=a,=b,=a+b,=c,由ab=0|=;由|c-a-b|=1点P在以A为圆心,半径r=1的圆上|c|=|+1=+1.故选(C).5.解:设=a,=b,=a+b,=c,由ab=0|=;由|c-a-b|=1点P在以A为圆心,半径r=1的圆上|c|=|-1=-1;|c|=|+1=+1.
8、故选(A).6.解:设=a,=b,=c,OB的中点为D,AD的中点为M,由|a|=|b|=ab=2AOB=600,ADOB;又由(a-c)(b-2c)=0(-)(2-2)=0ACDC点C在以AD为直径的圆上,M为圆心;由|OA|=2|AD|=|DM|=/2|BM|=/2|b-c|=|BC|的最小值是|BM|-|DM|=(-).7.解:设=a,=b,=c,AB的中点为D,AB=2m;由|a|=|b|=2,|c|=1点A,B在半径为2的O上,点C在半径为1的小O上;由(a-c)(b-c)=0ACB=900CD=m;在OCD中,OD-OCCDOD+OCOD-1mOD+1;当m=OD-1时,O,C,D在一直线上,由CDAB,AD=m(m+1)2+m2=4m=;m=OD+1时,(m-1)2+m2=4m=m|a-b|=AB=2m-1,+1.8.解:设=3,=4,=,则OAOB,AB=5;由(3-)(4-)=0PAPBP在以AB为直径的圆上|=OPAB=5.
