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1、相关立体几何的动向问题翻折问题立体几何的动向问题之二翻折问题立体几何动向问题的基本种类：点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等一、面动问题（翻折问题）：（一）学生用底稿纸演示翻折过程 :（二）翻折问题的一线五结论一线：垂直于折痕的线即DF AE.五结论：1）折线同侧的几何量和地点关系保持不变；折线双侧的几何量和地点关系发生改变；2） D HF 是二面角D - H - F的平面角；3）D 在底面上的投影必定射线 DF 上；4) 点D 的轨迹是以H 为圆心，DH 为半径的圆；5）面ADE 绕AE 翻折形成两个同底的圆锥 .二、翻折问题题目体现：（一）翻折过程中的范围与最值问题1、（20
2、16 年联考试题）平面四边形 ABCD 中，AD=AB= 2 ，CD=CB= 5 ,且AD AB ，现将 ABD 沿对角线 BD 翻折成A BD ，则在A BD 折起至转到平面 BCD 的过程中，直线AC 与平面 BCD 所成最大角的正切值为 _ .DADA CEB CB解：由题意知点 A 运动的轨迹是以 E 为圆心 ,EA 为半径的圆，当点 AA运动到与圆相切的时候所称的角最大，因此 3tan A CB 。 3E C【设计企图】增强对一线、五结论的应用，要点对学生简单犯的错误12进行剖析，找犯错误的原由。2、2015 年10 月浙江省学业水平考试18）.如图，在菱形 ABCD 中，BAD=6
3、0，线段 AD ，BD 的中点分别为 E，F。现将 ABD 沿对角线 BD 翻折，则异面直线 BE 与 CF 所成角的取值范围是A. ( , )6 3B. ( , 6 2C. ( , 3 2D. ( , 2 ) 3 3AE剖析：这是一道特别经典的学考试题，此题的解法特别多，很好的考察HD了空间立体几何线线角的求法。方法一：特别值法（可过 F 作 FH平行 BE,找两个极端情况）F 方法二：定义法：利用余弦定理：Ccos2 2 2FH FC CH 5 4FHC CH2FH FC 4 32，有3 21 CH4 4B1 1cos ,CFH 异面直线 BE 与 CF 所成角的取值范围是( , 3 22
4、 2方法三：向量基底法：1 1 1BE FC (BA BD) FC BA FC (BF FA ) FC2 2 2 1 1 1cos BE, FC cos FC, FA , 2 2 2方法四：建系：3、（2015 年浙江理8）如图，已知ABC，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD折成A CD ，所成二面角A CD B的平面角为，则（ B ）A. A DB B. A DB C. A CB D. A CB方法一：特别值方法二：定义法作出二面角，在进行比较。方法三：抓住问题的实质，借助圆锥利用几何解题。4、（14 年1 月浙江省学业学考试题）如图在 RtABC 中，AC1，BCx，D 是斜边 AB
5、 的中点，将BCD 沿直线 CD 翻折，若在翻折过程中存在某个地点，使得 CBAD ，则 x 的取值范围是 ( A )A(0， 3 B.2，2 C( 3，2 3 D(2，42方法一：利用特别确立极端值方法二：在DAB 中利用余弦定理转变为BDA 的函数求解。方法三：取 BC 的中点 E,连结 EA,ED 在DEA 中利用两边之和大于第三边求解。（二）翻折以后的求值问题5、（2016 届丽水一模13）已知正方形ABCD ，E 是边 AB 的中点，将ADE 沿DE 折起至A DE ，如下图，若A CD 为正三角形，则ED 与平面A DC 所成角的余弦值是2 556、（2016 届温州一模8）如图，
6、在矩形ABCD 中，AB 2 ，AD 4 ，点E 在线段AD 上且AE 3，现分别沿BE ,CE 将ABE, DCE 翻折，使得点D 落在线段AE 上，则此时二面角D EC B 的余弦值为 ( D )A 45B56C67D78A E DA DEB C CB三、课后练习1、（2012 年浙江10）已知矩形 ABCD ，AB=1 ，BC= 2 。将ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ B ）A.存在某个地点，使得直线 AC 与直线 BD 垂直.B.存在某个地点，使得直线 AB 与直线 CD 垂直.C.存在某个地点，使得直线 AD 与直线 BC 垂直.D.对随意地点，三对
7、直线“ AC 与 BD ”，“AB 与 CD”，“AD 与 BC”均不垂直A D A DB C B C2（2009 年浙江 17）如图，在长方形 ABCD中，AB=2,BC=1,E 为 DC的中点， F 为线段 EC(端点除外 ) 上一动点，现将 AFD沿 AF折起，使平面 ABD平面 ABC,在平面 ABD内过点 D作 DKAB,K 为垂足，设 AK=t, 则 t 的取值范围是 _1( ,1)_.23、（16 年浙江六校联考） 如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中， E为正方形边上的动点，D现将 ADE 所在平面沿 AE 折起，使点 D 在平面 ABC 上的射EC影H 在直线AE 上，
8、当E从点D 运动到C ，再从C 运动到B ，则点H 所形成轨迹的长度为_ _.A B 4、（2010 年浙江 19 改编）如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在2线段 AB，AD 上，AE EB AF FD 4沿直线 EF 将 AEF 翻3折成 A EF ，使平面 A EF 平面 BEF 点M , N 分别在线段 FD , BC上，若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折，使 C 与 A重合，则线段 FM 的长为 _MFAAENBD C5、（16 届金华十校一模 17）如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB =2，AD =4，点 E、F 分别在 AD、BC 上，且 AE =1，BF
9、 =3，将四边形 AEFB 沿 EF 折起，使点 B 在平面CDEF 上的射影 H 在直线 DE 上.( ) 求证: CDBE;( ) 求线段 BH 的长度；( ) 求直线 AF 与平面 EFCD 所成角的正弦值 .B E AA DDEHBF CF C17. 解：（1）因为BH 平面CDEF ，BH CD ，又因为CD DE ，BH DE H ，CD 平面DBE ，CD BE .法一：（2）设BH h ，EH k ，过F 作FG 垂直ED于点G ，因为线段BE ，BF 在翻折过程中长度不变，依据勾股定理：BE22FHBH22BHEH22FG2 2GH 95222h2h2k(2k2)，可解得hk
10、21，2BF BH线段BH 的长度为2.（2）延伸BA 交EF 于点M ，因为AE : BF MA : MB 1: 3，点A到平面EFCD 的距离为点 B到平面 EFCD 距离的13，点 A到平面 EFCD 的距离为23，而 AF 13 ，直线 AF 与平面 EFCD 所成角的正弦值为21339.法二：（2）如图，过点E作ER DC ，过点E作ES 平面EFCD ，分别以ER、ED、ES 为x 、y、z 轴成立空间直角坐标系，设点B(0, y, z)( y 0,z 0)，因为F (2,2,0)，BE 5，BF 3，4 (2yy2z22)5,2z9解得yz1,2,于是 B( 0,1,2) ，因此
11、线段 BH 的长度为 2 .1 2 1 2 8 7 2（3）进而FB ( 2, 1,2) ，故) EA FB ( , , ，FA FE EA ( , , ) ，3 3 3 3 3 3 3设平面EFCD 的一个法向量为n (0,0,1) ，设直线AF 与平面EFCD 所成角的大小为，sinFAFAnn21339则 .立体几何的动向问题之三最值、范围问题1、（2006 年浙江理14）正四周体 ABCD 的棱长为 1，棱 AB 平面，则正四周体上的全部点在平面内的射影组成的图形面积的取值范围是 .2、（2008 年浙江 理 10） 如图， AB 是平面 a的斜线段， A 为斜足，若点 P 在平面 a
12、内运动使得 ABP 的面积为定值， 则动点 P 的轨迹是（ ）B（A ）圆（B）椭圆（C）一条直线（D）两条平行直线AP3、（15 届高考模拟卷文）如图，已知球O是棱长为 1 的正方体D CABCD ABC D 的内切球，则平面 ACD1 截球 O 的截面面积为1 1 1 1A BO 4、（2014 年金华高二十校联考文10）圆柱的轴截面 ABCD 是边长为 2 的CD正方形， M 为正方形 ABCD 对角线的交点，动点 P 在圆柱下底面内（包含圆周），若直线 BM 与直线 MP 所成角为 45，则点 P 形成的轨迹为 ( )A B DCA椭圆的一部分 B抛物线的一部分M C双曲线的一部分 D
13、. 圆的一部分5（2014 浙江卷理科 17）某人在垂直于水平川面 ABC 的墙眼前的点 A 处进行射击训练已知点 A 到墙面的距离为 AB，某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 挪动，这人为了正确对准目标点 ，需计算由点 察看点 的仰角 的大小 若 P A P ABAPB15 m，AC25 m ，BCM 30，则 tan 的最大值是 _(仰角为直线 AP 与平面ABC 所成角 )6（2015 浙江卷 8）如图 11-10，斜线段 AB 与平面所成的角为 60，B 为斜足，平面上的动点 P 知足 PAB30，则点 P的轨迹是 ( )A直线 B抛物线 C椭圆 D双曲线的一支式题（1）如图，平面的斜线 AB 交于 B 点，且与所成的角为，平面 内有一动点 C 知足 BAC，若动点 C 的轨迹为椭圆，则 的6取值范围为 _(2)在正四周体 ABCD 中，M 是 AB 的中点， N 是棱 CD 上的一个动点，若直线 MN 与 BD所成的角为，则 cos 的取值范围是 _7、(2014 年7 月浙江学考第25 题)在棱长为
