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1、第五节椭圆2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)；2.了解椭圆的简单应用；3.理解数形结合的思想。2016，全国卷，11,5分(椭圆的几何性质)2016，天津卷，19,14分(椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系)2016，浙江卷，9,5分(椭圆的几何性质)2016，江苏卷，10,5分(椭圆的几何性质)2015，全国卷，14,5分(椭圆的几何性质)椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中。椭圆的考查频率非常高，而且运算量、思维量都比较大，这是椭圆命题的一个显著
2、特征。微知识小题练自|主|排|查1椭圆的概念平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数。(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ac，则集合P为空集。2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长
3、轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系c2a2b23椭圆中常用的4个结论(1)设椭圆1(ab0)上任意一点P(x，y)，则当x0时，|OP|有最小值b，这时P在短轴端点处；当xa时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处。(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2b2c2。(3)已知过焦点F1的弦AB，则ABF2的周长为4a。(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则ac|PF|ac。微点提醒1在求椭圆的离心率时，椭圆中a，b，c之间的关系容易忽略。2椭圆的离心率的大小决定椭圆的扁平程度：离心率越大，
4、椭圆越扁；离心率越小，椭圆越圆。3方程Ax2By21(AB0)表示椭圆的充要条件是A0，B0且AB。小|题|快|练一 、走进教材1(选修21P40例1改编)若F1(3,0)，F2(3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是()A.1B.1C.1 D.1或1【解析】设点P的坐标为(x，y)，因为|PF1|PF2|10|F1F2|6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a5，c3，b4，故点P的轨迹方程为1。故选A。【答案】A2(选修21P49A组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率
5、是()A. B.C2 D.1【解析】解法一：设椭圆方程为1，依题意，显然有|PF2|F1F2|，则2c，即2c，即e22e10，解得e1。故选D。解法二：因为F1PF2为等腰直角三角形，所以|PF2|F1F2|2c，|PF1|2c。因为|PF1|PF2|2a，所以2c2c2a，所以e1。故选D。【答案】D二、双基查验1设P是椭圆1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4B8C6 D18【解析】依定义知|PF1|PF2|2a6。故选C。【答案】C2方程1表示椭圆，则m的范围是()A(3,5) B(5,3)C(3,1)(1,5) D(5,1)(1,3)【解析】由方程表
6、示椭圆知解得3m5且m1。故选C。【答案】C3椭圆1的离心率为，则k的值为()A21 B21C或21 D.或21【解析】若a29，b24k，则c，由，即，得k；若a24k，b29，则c，由，即，解得k21。故选C。【答案】C4已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率为，则椭圆的标准方程为_。【解析】设椭圆的标准方程为1(ab0)，因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e，所以解得故椭圆的标准方程为1。【答案】15已知F1，F2是椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|2|PF2|，PF1F230，则椭圆的离心率为_。【解析】在三角形PF1F2中，由正弦定理得sinPF2F11，即P
7、F2F1，设|PF2|1，则|PF1|2，|F2F1|，所以离心率e。【答案】第一课时椭圆的概念及其性质微考点大课堂考点一 椭圆的定义及应用【典例1】(1)(2016北京东城期末)过椭圆4x2y21的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的ABF2的周长为()A2B4C8 D2(2)F1，F2是椭圆1的两个焦点，A为椭圆上一点，且AF1F245，则AF1F2的面积为()A7 B.C. D.【解析】(1)因为椭圆方程为4x2y21，所以a1。根据椭圆的定义，知ABF2的周长为|AB|AF2|BF2|AF1|BF1|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF
8、1|BF2|)4a4。故选B。(2)由题意得a3，b，c，|F1F2|2，|AF1|AF2|6。|AF2|2|AF1|2|F1F2|22|AF1|F1F2|cos45|AF1|24|AF1|8，(6|AF1|)2|AF1|24|AF1|8。|AF1|。S2。故选C。【答案】(1)B(2)C反思归纳1.椭圆定义的应用范围(1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆。(2)解决与焦点有关的距离问题。2焦点三角形的应用椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等。【变式训练】(1)已知A，B是圆2
9、y24(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为_。(2)已知F是椭圆5x29y245的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点。求|PA|PF|的最大值和最小值。【解析】(1)如图，由题意知|PA|PB|，|PF|BP|2。所以|PA|PF|2且|PA|PF|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a1，c，b2。所以动点P的轨迹方程为x2y21。(2)如图所示，设椭圆右焦点为F1，则|PF|PF1|6。|PA|PF|PA|PF1|6。利用|AF1|PA|PF1|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，|PA|PF|6，|PA|PF|6。故|
10、PA|PF|的最大值为6，最小值为6。【答案】(1)x2y21(2)最大值6，最小值6考点二 椭圆的标准方程及其应用【典例2】(1)若直线x2y20经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.y21B.1C.y21或1D以上答案都不对(2)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b0，B0，AB)。【变式训练】(1)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1(2)过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为_。【解析】(1)因为AF1B的周长为4，所以4a4，
11、所以a，因为离心率为，所以c1，所以b，所以椭圆C的方程为1。故选A。(2)椭圆1的焦点为(0，4)，(0,4)，即c4。由椭圆的定义知，2a，解得a2。由c2a2b2可得b24。所以所求椭圆的标准方程为1。【答案】(1)A(2)1考点三 椭圆的简单几何性质多维探究角度一：与椭圆有关的最值或范围问题【典例3】已知点F1，F2是椭圆x22y22的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|的最小值是()A0 B1C2 D2【解析】设P(x0，y0)，则(1x0，y0)，(1x0，y0)，(2x0，2y0)，|22。点P在椭圆上，0y1，当y1时，|取最小值2。故选C。【答案】C角度二：求离心率的值或范围【典例4】(1)(2016全国卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点。P为C上一点，且PFx轴。过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A. B.C. D.(2)(2015福建高考)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点。若|A
