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1、（全国通用版）2022高考数学二轮复习 板块四 考前回扣 专题5 概率与统计学案 理1分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种方法(也称加法原理)2分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种方法(也称乘法原理)3排列 (1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(2)排列数的定义：从n个
2、不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示(3)排列数公式：An(n1)(n2)(nm1)(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，An(n1)(n2)21n！.排列数公式写成阶乘的形式为A，这里规定0！1.4组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示(3)组合数的计算公式：C，由于0！1，所以C1.(4)组合数的
3、性质：CC；CCC.5二项式定理(ab)nCanCan1b1CankbkCbn(nN*)这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数C(k0,1,2，n)叫做二项式系数式中的Cankbk叫做二项展开式的通项，用Tk1表示，即展开式的第k1项：Tk1Cankbk.6二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.7二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“
4、等距离”的两个二项式系数相等，即CC.(2)增减性与最大值：二项式系数C，当k时，二项式系数是递减的当n是偶数时，那么其展开式中间一项的二项式系数最大当n是奇数时，那么其展开式中间两项和的二项式系数相等且最大(3)各二项式系数的和(ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即CCCCC2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即CCCCCC2n1.8概率的计算公式(1)古典概型的概率计算公式P(A)；(2)互斥事件的概率计算公式P(AB)P(A)P(B)；(3)对立事件的概率计算公式P()1P(A)；(4)几何概型的概率计算公式P(A).(5)条件概率公式P(B
5、|A).9抽样方法简单随机抽样、分层抽样、系统抽样(1)从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，则每个个体被抽到的概率都为；(2)分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量10统计中四个数据特征(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据(2)中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数(3)平均数：样本数据的算术平均数，即(x1x2xn)(4)方差与标准差方差：s2(x1)2(x2)2(xn)2标准差：s.11离散型随机变量(1)离散型随机变量的分布列的两个性质pi0(i1,2，n)；p
6、1p2pn1.(2)期望公式E(X)x1p1x2p2xnpn.(3)期望的性质E(aXb)aE(X)b；若XB(n，p)，则E(X)np；若X服从两点分布，则E(X)p.(4)方差公式D(X)x1E(X)2p1x2E(X)2p2xnE(X)2pn，标准差为.(5)方差的性质D(aXb)a2D(X)；若XB(n，p)，则D(X)np(1p)；若X服从两点分布，则D(X)p(1p)(6)独立事件同时发生的概率计算公式P(AB)P(A)P(B)(7)独立重复试验的概率计算公式Pn(k)Cpk(1p)nk.12线性回归线性回归方程x一定过样本点的中心(，)13独立性检验利用随机变量K2来判断“两个分类
7、变量有关系”的方法称为独立性检验如果K2的观测值k越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大14正态分布如果随机变量X服从正态分布，则记为XN(，2)满足正态分布的三个基本概率的值是：P(X)0.682 6；P(2X2)0.954 4；P(3X3)0.997 4.1关于两个计数原理应用的注意事项(1)分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事(2)混合问题一般是先分类再分步(3)分
8、类时标准要明确，做到不重复不遗漏(4)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律2对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数3排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排(2)合理分类与准确分步(3)排列、组合混合问题先选后排(4)相邻问题捆绑处理(5)不相邻问题插空处理(6)定序问题排除法处理(7)分排问题直排处理(8)“小集团”排列问题先整体后局部(9)构
9、造模型(10)正难则反，等价条件4对于二项式定理应用时要注意(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出k，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系(3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，1.(4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a，b.5应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和6正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，
10、是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件7混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错8要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为，因而有P(A|B)P(AB)9易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的期望和方差公式计算致误1从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不
11、同的抽取方法数为()A224 B112 C56 D28答案B解析根据分层抽样，从8名女生中抽取2人，从4名男生中抽取1人，所以抽取2名女生1名男生的方法数为CC112.2采用系统抽样方法从学号为1到50的50名学生中选取5名参加测试，则所选5名学生的学号可能是()A1,2,3,4,5 B5,26,27,38,49C2,4,6,8,10 D5,15,25,35,45答案D解析采用系统抽样的方法时，即将总体分成均衡的若干部分，分段的间隔要求相等，间隔一般为总体的个数除以样本容量，据此即可得到答案采用系统抽样间隔为10，只有D答案中的编号间隔为10.故选D.3从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，
12、派到3个班担任班主任(每班1位班主任)，要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有()A210种 B420种C630种 D840种答案B解析因为要求3位班主任中男、女教师都要有，所以共有两种情况，1男2女或2男1女若选出的3位教师是1男2女，则共有CCA180(种)不同的选派方法；若选出的3位教师是2男1女，则共有CCA240(种)不同的选派方法，所以共有180240420(种)不同的方案，故选B.4有5张卡片，上面分别写有数字1,2,3,4,5.从这5张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为()A. B. C. D.答案C解析方法一从5张卡片中随机抽2
13、张的结果有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，2张卡片上的数字之积为偶数的有7种，故所求概率P.方法二从5张卡片中抽取2张的结果有C10(种)，2张卡片上的数字之积为奇数的有C3(种)，故所求概率为P.5200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数，中位数的估计值为()A62,62.5 B65,62C65,63.5 D65,65答案D解析选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横坐标即为中位数最高的矩形为第三个矩形，所以时速
14、的众数为65；前两个矩形的面积为(0.010.02)100.3，由于0.50.30.2，则105，所以中位数为60565.故选D.6道路交通法规定：行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行，绿灯行，红灯停，遇到黄灯时，如已超过停车线须继续行进，某十字路口的交通信号灯设置时间是：绿灯48秒，红灯47秒，黄灯5秒，小张是个特别守法的人，只有遇到绿灯才通过，则他路过该路口不等待的概率为()A0.95 B0.05 C0.47 D0.48答案D解析由题意得小张路过该路口不等待的概率为0.48.7在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是()A. B. C. D. 答案B解析设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮事件DABCABAC，且A，B，C相互独立，ABC，AB，AC互斥，所以P(D)P(ABCABAC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)
