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1、求圆的轨迹方程教学目标：1、掌握直线与圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程2、掌握直线与圆的位置关系，可以应用直线与圆的位置关系求圆的方程3、理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。教学重难点：1、掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程2、会求曲线的轨迹方程(圆)教学过程：第一部分知识点回顾一、圆的方程：1. 圆的标准方程:(xa匕+(yb匕r2。2. 圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F0(D2+E24F0)特别提醒：只有当D2+E24F0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F0才表示圆心为(-再,彳),半径为VD2+E2，
2、4F的圆思考：二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F0表示圆的充要条件是什么？答案：(AC丰0梓B0且D2+E2，4AF0)；3. 圆的参数方程：a+rCOSo(0为参数)，其中圆心为(a，b)，半径为r。圆的参数方程的主要应用是三角换元：x2+y2r2txrcos0,yrsin0；x2+y2tTxrcos0,yrsin0(0rt)。4. A(x,y),B(x,y)为直径端点的圆方程(x，x)(x，x)+(yy)(yy)=0如11221212(1) 圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称，则圆C的方程为(答：x2+(y+1)2=1)；(2) 圆心在直线2x-y=3上，且
3、与两坐标轴均相切的圆的标准方程是(答：(x_3)2+(y-3)2=9或(x-1)2+(y+1)2=1)；已知p(-i)是圆二r:溜(，为参数，0,2)上的点，则圆的普通方程为P点对应的,值为,过P点的圆的切线方程是(答：x2+y2=4；普x/3y+4=0)；(4) 如果直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是(答：0，2)；i(5) 方程x2+y2x+y+k=0表示一个圆，贝9实数k的取值范围为(答：k);(6) 若M=(x,y)l二3囂,(0为参数,00),N=(x,y)1y=x+bl,若MN,则b的取值范围是(答:0),00(1)点M在圆C外O|
4、CMrO(xa匕+(y一b匕r2；00(2)点M在圆C内O|CMrO(xa匕+(y一b匕0)有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：(1) 代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：0O相交；0O相离；=0O相切；(2) 几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则drO相离；d=rO相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如(1) 圆2x2+2y2=1与直线xsin,+y一1=0(,R,H+k，kz)的位置关系为(答：相离)；(2) 若直线ax+by一3=0与圆x2+y2+4x一1=0切于点P(1,2)，贝yab的值(答：2)
5、；(3) 直线x+2y=0被曲线x2+y26x2y15=0所截得的弦长等于(答：4再)；(4) 一束光线从点A(l,l)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=l上的最短路程是(答：4)；(5) 已知M(a,b)(ab0)是圆O:x2+y2，r2内一点，现有以M为中点的弦所在直线m和直线l:ax+by，r2，贝yA.m/1,且l与圆相交B./丄m,且l与圆相交C.m/1,且l与圆相离D.l丄m，且l与圆相离(答：C)；(6) 已知圆C：x2+(y一I)2，5,直线L：mx-y+1-m，0。求证：对mR，直线L与圆C总有两个不同的交点；设L与圆C交于A、B两点，若|A|，J17，求L的
6、倾斜角；求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.(答：60或120最长：y=1，最短：x=1)OO第二部分直线与圆的典型例题一、求圆的轨迹方程1、用定义法求圆的轨迹方程例1设方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9,0，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及这时圆心的轨迹方程。分析:配成圆的标准方程再求解解：配方得：x-(m+3)1+1y-(1-4m2)12，1+6m-7m21x，m+3该方程表示圆，则有1+6m-7m20，得m(-,1)，此时圆心的轨迹方程为,7y，4m2-1消去m,得y，4(x-3)2-1，1由m(-7,1)得x=m+3(20,”4-所求的轨迹
7、方程是y，4(x-3)2-1,注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，定要讨论变量的取值范围，如题中x解：原方程可化为2(a-1)xa变式1方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y,0表示圆，求实数a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。2+(y+争，4(a2-2a+2)aa2a22a+20,当a0时，原方程表示圆。#/4(a2，2a+2)J2a2+2(a24a+4)a2又ra2当a2,r=Q，所以半径最小的圆方程为(xl)2+(y+1)22min2、用待定系数法求圆的轨迹方程例2求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系分析：欲求圆
8、的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2r2.圆心在y0上，故b0.又该圆过A(1,4)、B(3,2)两点.解之得：a，1，r220.圆的方程为(x-a)2+y2r2.J(1一a)2+16r2(3一a)2+4r2#所以所求圆的方程为(x+1)2+y220.解法二：(直接求出圆心坐标和半径)因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为4
9、2k，1，故l的斜率为1,又AB的中点为(2,3)，故AB的垂直平分线l的方程为：y3x2AB1，3即x一y+10.又知圆心在直线y0上，故圆心坐标为C(，1,0)半径rAC(1+1)2+4220.故所求圆的方程为(x+1)2+y220.又点P(2,4)到圆心C(1,0)的距离为点P在圆外.dPC(2+1)2+4225r.说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例3求半径为4,与圆x2+y2-4x-2y-40相切，且和直线y0相切的圆的方程
10、.分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解解：则题意，设所求圆的方程为圆C：(x-a)2,(y-b)2r2.圆C与直线y=0相切，且半径为4,则圆心C的坐标为C(a,4)或C(a,4).12又已知圆x2+y2-4x一2y一40的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3.若两圆相切，则|CA|4+37或CA4-31.当C(a,4)时，(a2)2,(41)2=72，或(a2)2,(41)2=12(无解)，故可得a2土210.1所求圆方程为(x2210)2+(y4)242，或(x2+210)2+(y4)2=42.当C(a,4)时，(a2)2,(41)2=72，或(a2)2,(41)2=12(无解)，故a
11、2土26.2.:所求圆的方程为(x226)2+(y+4)2=42，或(x2+26)2+(y+4)2=42.说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线y0相切且半径为4，则圆心坐标为C(a,4)，且方程形如(x-a)2,(y-4)242.又圆x2,y24x2y4=0，即(x2)2,(y1)2=32，其圆心为A(2,1)，半径为3.若两圆相切，则ICA=4+3.故(a2)2+(4-1)272,解之得a2土210.所以欲求圆的方程为(x2210)2+(y4)242，或(x2+210)2+(y4)242.上述误解只考虑了圆心在直线y0上方的情形，而疏漏了圆心在直线y0下方的情形.另外，误解中没
12、有考虑两圆内切的情况.也是不全面的.点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：(1)确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；(2) 根据几何关系(如本例的相切、弦长等)建立方程求得a、b、r或D、E、F；(3) 待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.3、用几何方法求圆的轨迹方程例4设圆满足:截y轴所得弦长为2;被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,在满足条件、的所有圆中,求圆心到直线l:x2y0的距离最小的圆的方程。分析:注意挖掘题目的条件,充分利用圆的几何性质解决问题.解法一:设圆心为P(a,b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为IbI，IaI。由题设圆P截x
13、轴所得劣弧对的圆心角为90，知圆P截x轴的弦长为27,故r22b2又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2a2+1从而得2b2a21又点P(a,b)到直线x+2y=0的距离为d=Ia2bI5所以当且仅当ab时上式等号成立，此时5d21，从而d取得最小值.解此方程组得由于r22b2知r二迈于是，所求圆的方程是：(x1)2+(y1)2二2或(x+1)2+(y+1)2=2解法二：同解法一得#得a24b24、忑bd+5d2将a22b2一1代入上式，整理得2b24*5db+5d2+1=0把它看作b的二次方程，由于方程有实根,故判别式非负，即A=8(5d2-1)0，得5d21所以5d2有最小值1,从而d有最小值将其代入式得2b24b+2=0.解得b=1.将b=1代入r2=2b2,得r2=2.由r2=a2+1得a二土1.综上a=1，b=1，r2=2.由丨a-2b|=1知a,b同号.于是，所求圆的方程是(x1)2+(y1)22或(x+1)2+(y+1)2=2点拨：求圆的方程通常有两类方法，一是几何法，即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系进而求得圆的基本量(圆心、半径)和圆的方程，二是代数法，即根据题意设出圆的方程，再利用条件得到有关方程系数的方程组，解方程组得到方程系数，从而求出圆的方程.4、直线与圆的位置关系例5在平面
