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1、2018年春季学期离散数学期末复习题第一章集合论一、判断题（1）空集是任何集合的真子集 （ 错 ）（2）是空集 （ 错 ）（3） （ 对 ）（4）设集合. ( 对 ）（5）如果，则或 （ 错 ）解 则，即且，所以且（6）如果A （ 对 ）（7）设集合，则 （ 错 ）（8）设集合，则是到的关系 （ 对 ）解 ，（9）关系的复合运算满足交换律 （ 错 ）（10） （ 错 ）（11）设 ( 对 )（12）集合A上的对称关系必不是反对称的. （ 错 ）（13）设为集合上的等价关系, 则也是集合上的等价关系( 对 )（14）设是集合上的等价关系, 则当时， ( 对 )（15）设为集合 上的等价关系, 则
2、 ( 错 )二、单项选择题（1）设为实数集合，下列集合中哪一个不是空集 （ A ）A. B C. D. （2）设为集合，若，则一定有 （ C ）A. B C. D. （3）下列各式中不正确的是 （ C ）A. B C. D. （4）设，则下列各式中错误的是 （ B ）A. B C. D. （5）设，则为 （ B ）A. B C. D. （6）设，则的恒等关系为 （ A ）A. B C. D. （7）设上的二元关系如下，则具有传递性的为 （ D ）A. B C. D. （8）设为集合上的等价关系，对任意，其等价类为 （ B ）A. 空集； B非空集； C. 是否为空集不能确定； D. .（9）映
3、射的复合运算满足 （ B ）A. 交换律 B结合律 C. 幂等律 D. 分配律（10）设A，B是集合，则下列说法中（ C ）是正确的.AA到B的关系都是A到B的映射BA到B的映射都是可逆的CA到B的双射都是可逆的D时必不存在A到B的双射（11）设A是集合，则（ B ）成立.A BCD（12）设A是有限集（），则A上既是又是的关系共有（ B ）.A0个B1个C2个D个三、填空题1. 设，则_.填2.设，则= . 填3.设集合中元素的个数分别为，且，则集合中元素的个数 .34.设集合，则中元素的个数为 .405.设 , 是 上的包含于关系，,则有= .6.设为集合 上的二元关系, 则 . 7.集合
4、上的二元关系为传递的充分必要条件是 8. 设集合及集合A到集合的关系|_.填 四、解答题1. 设集合求（1）A ；（2）解 （1）A （2），所以 2. 设 上的关系 （1）写出的关系矩阵； （2）验证是上的等价关系； （3）求出的各元素的等价类。解 （1）的关系矩阵为 （2）从的关系矩阵可知：是自反的和对称的。又由于 或满足所以是传递的。 因为是自反的、对称的和传递的，所以是上的等价关系。（3） ，3. 设集合，是上的整除关系，（1） 写出的关系矩阵；（2） 画出偏序集的哈斯图；（3） 求出的子集的最小上界和最大下界；（4） 判断其是否为格。解：（1） （2） （3）lubB=30, glb
5、B=3 五、证明题1. 设为集合上的等价关系, 试证也是集合上的等价关系。证明：由于是自反的，所以对任意, 因而，即是自反的。 若，则,由于是对称的，所以, 从而，即是对称的。 若，则 ,由于是传递的，所以, 从而，即是传递的。 由于是自反的、对称的和传递的，所以是等价关系。第二章 代数系统一、判断题（1）集合A上的任一运算对A是封闭的 （ 对 ）（2）代数系统的零元是可逆元. （ 错 ）（3）设A是集合，则是可结合的 （ 对 ）（4）设是代数系统的元素，如果是该代数系统的单位元），则 ( 对 ) （5）设 （ 错 ）（6）设是群如果对于任意，有 ，则是阿贝尔群 （ 对 ）（7）设 （ 对 ）
6、（8）设集合，则是格 （ 对 ）（11）是格 （ 对 ）（9）设是布尔代数，则是格 （ 对 ）（10）设是布尔代数，则对任意，有 （ 对 ）二、单项选择题（1）在整数集上，下列哪种运算是可结合的 （ B ）A. B C. D. （2）下列定义的实数集R上的运算 * 中可结合的是. （ C ）ABCD其中，+， 分别为实数的加法、乘法和取绝对值运算.（3）设集合，下面定义的哪种运算关于集合不是封闭的 （ D ）A. B C. ，即的最大公约数D. ，即的最小公倍数（4）下列哪个集关于减法运算是封闭的 （ B ）A. （自然数集）； B；C. ； D. .（5）设是有理数集，在定义运算为，则的单位
7、元为 （ D ）A. ； B； C. 1； D. 0（6）设代数系统A，则下面结论成立的是. （ C ）A如果A，是群，则A，是阿贝尔群B如果A，是阿贝尔群，则A，是循环群C如果A，是循环群，则A，是阿贝尔群D如果A，是阿贝尔群，则A，必不是循环群（7）循环群的所有生成元为 （ D ）A. 1，0 B-1，2 C. 1，2 D. 1，-1三、填空题1. 设为非空有限集，代数系统中，对运算的单位元为 ，零元为 .填2.代数系统中（其中为整数集合，+为普通加法），对任意的，其 .填3.在整数集合上定义运算为，则的单位元为 .解 设单位元为，所以，又，所以单位元为4.在整数集合上定义运算为，则的单位
8、元为 .解设单位元为，所以5.设是群，对任意，如果，则 .填6.设是群，为单位元，若元素满足，则 .填四、解答题1.设为实数集上的二元运算，其定义为，对于任意求运算的单位元和零元。解：设单位元为，则对任意，有，即 ，由的任意性知 ，又对任意，；所以单位元为0 设零元为，则对任意，有，即 ，由的任意性知 又对任意，所以零元为 2. 设为集合上的二元运算，其定义为，对于任意（1） 写出运算的运算表；（2） 说明运算是否满足交换律、结合律，是否有单位元和零元、如果有请指出；（3） 写出所有可逆元的逆元解：（1）运算表为 0 1 2 3 40 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 1 33 0 3 1 4 24 0 4 3 2 1（2）运算满足交换律、结合律，有单位元，单位元为1，有零元，零元为0；（3）1的逆元为1，2的逆元为3，3的逆元为2，4的逆元4，0没有逆元五、证明题1. 设 是一个群，试证 是交换群 当且仅当对任意的 ,有 .证明：充分性若在群中，对任意的 ,有 .则
