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1、第1章 质点力学1-1题 已知矢量=3-4，=-3-2，=-3，=2+5，试用几何方法(多边形法则)和解析方法求解:(1)几何法 如1-1题图所示 与x轴方向夹角设为则(2)解析法=(3-4)+(-3-2)+(-3)+(2+5)=(3-3+2)+(-4-2-3+5)=2-41-2题 一飞机由某地起飞，向东飞行50 km后，又向东偏北60的方向飞行40 km，求此时飞机的位置。解：此题是求位置矢量，选取地球为参照系，以起点为坐标原点，建立如1-2题图所示的坐标系，由题意知： =解得: = =8.1 km与正东方向(即)方向夹角设为则 1-3题 已知=3+5，=5-3,求解：由数学上的矢量标积知，
2、则1-4题 质点沿y轴作直线运动，其位置随时间的变化规律为y =5t2，试求：(1)2.0002.100 s，2.0002.001 s两个时间间隔内的平均速度；(2)t =2.000 s时的瞬时速度。解：(1)由题意知，运动方程为 y =5t2，分别将t1 = 2.000 s与t2 = 2.100 s带入运动方程得：y1 = 20. my2 = 22. m则平均速度的公式得 同理，得：=20.00 m=20.02 m(2)由y = 5t2求得瞬时速度为 m将t = 2.000 s带入上式得1-5题 矿井里的升降机，在井底从静止开始匀加速上升，经过3 s，速度达到3 ，然后以这个速度匀速上升6
3、s，最后减速上升，经过3 s到达井口，刚好停止，求：(1)矿井深度(2)给出x-t图和v-t图解：(1)矿井深度可用图解法求得其v-t图如1-5题图(a)所示矿井深度为图中梯形面积即 =2 m(2)升降机运动方程为 其x-t图如1-5题图(b)所示1-6题 一升降机以加速度1.22 上升，当上升速度为2.44 时，有一螺丝自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底板相距2.4 m，计算：(1)螺丝从天花板落到底板所需要的时间；(2)螺丝相对于升降机外固定柱子下降的距离。 解：以地面为参照系，坐标原点选在升降机以速度2.44 上升时刻，机外与升降机地板对应的固定参考点。向上为坐标轴正方向(1)螺
4、帽在t = 0时，y = y0 = 2.4 m处以初速度作竖直上抛运动。其运动方程为 而地板的运动方程为 螺帽落地时有 即 解得t= s(2)螺帽下降的距离： m1-7题 一运动的质点在某瞬间位于矢径r (x,y)的端点处，其速度大小的表达式是( )A. B. C. D. 答案：D 解：我们知道速度是矢径r对时间t的导数，而矢径在直角坐标轴上的分量是x，y，所以速度的两个分量是， 1-8题 下列说法中正确的是( )A.加速度恒定不变时，物体运动方向也不变B.平均速率等于平均速度的大小C.运动物体速率不变时，速度可以变化D.不管加速度如何，平均速率表达式总可以写成解：A错 因物体的运动方向不仅与
5、加速度方向有关还与初速度方向有关。 如抛体运动 B 错 平均速率定义为路程与时间的比值,而平均速度的大小,而位移的大小一般不等于路程；瞬时速率等于瞬时速度的大小C 对 运动速率不变时，方向却可改变。如匀速圆周运动D 错 ，此式只适用于匀加速直线运动的情况1-9题 已知运动方程为式中，t的单位为s，r的单位为m，试求：(1)t = 4 s时质点的坐标，从t = 0到t = 4 s质点的位移；(2)前4 s内质点的平均速度和加速度；(3)t = 2 s时质点的速度和加速度。解：(1)将，s分别带入运动方程 得 则可以得出s时的坐标为(-52，-32)04 s内的位移为 (2)前4 s内质点的平均速
6、度为 由对时间求一阶导数，可求得瞬时速度表达式 将s代入式得由此得 前4 s的平均加速度(3)t =2 s时质点的速度为加速度表示为 将s代入式得 1-10题 一人乘摩托车跳跃一个大矿坑，他以与水平方向成22.5 夹角的初速度65从西边起跳，准确地落在坑的东边，如1-10题图所示，已知东边比西边低0 m，忽略空气阻力，取g =10，问：(1)矿坑有多宽？他飞越的时间多长？(2)他在东边落地时的速度多大？速度与水平面的夹角多大？ 解： 建立坐标系，如1-10题图所示 由题意知 m (1)将速度分解到x与y的方向上，摩托车只受沿y轴负方向的重力作用，则由抛体运动知，人的运动方程为 人落地时满足 代
7、入式得解得 s将之代入式得矿坑宽度m(2)速度方程为 将s代入、式得 得： （斜向下） 1-11题 设炮弹以400的初速度、的仰角射击，若不计空气阻力，求在3 s末炮弹的矢径、速度、切向加速度和法向加速度。解：设炮弹抛出点为坐标原点，建立如1-11题图所示坐标系，炮弹的速度分量为(取g =10 ) 则炮弹失径为 将t =3s代入上式得由速度定义求得 将s代入式得设与x轴方向的夹角为， 则求得则 法向加速度 ms-2切向加速度 ms-2 1-12题 一质点P从O点出发以匀速率1 cms-1作顺时针转向的圆周运动，圆的半径为1 m，如图所示，当它走过2/3圆周时，走过的路程是_,这段时间内的平均速
8、度大小为_,方向是_。 解：由题意知质点走过的路程为圆周长的 即： cm则走过这段路程所用时间为 s该段时间内的位移大小为 cm故平均速度大小为 cms-1平均速度大小与x轴夹角为1-13题 火车在曲率半径 m的轨道上减速行驶，速率为10 ，切向加速度 ，且与速度反向。求此时法向加速度和总加速度，并求出总加速度与速度的夹角。解：由已知条件求得法向加速度为 而由题意知： 则总的加速度： 设与法向量夹角为则 得故总加速度与法向量夹角为1-14题 路灯距地面高度为h，行人身高为，若人以匀速率背向路灯行走，问：人头顶的影子的移动速率为多大？解：此题是求解人头顶影子的移动速率，只需求解出人头顶影子的位置
9、即可得出速率，由题意知，选取地面为参考系，建立如1-14题图所示直角坐标系，人的位置为x1，人头影的位置为x2, 由图中两直角三角形形似关系得如下关系式 进而求得 将上式两边对时间求导可得到而由题意知： 则人头顶的影子移动速率为1-15题 在离水面高为h的岸边，有人用绳拉船靠岸，船在离岸边s（m)处。当人以()率收绳时，试求船的速度、加速度的大小各为多少。解：由题意知人拉绳的速率，要想求得船的速度，只需求解出它们之间的位置关系，再由速度的定义可求得速度之间满足的关系式，以水面作为参考系，建立如图所示的坐标系，由1-15题图可知 则船的速度由题意知人以匀速率拉船， 的方向沿轴负方向。由加速度的定
10、义知船的加速度为 的方向沿轴负方向。1-16题 分别画出如图所示的两种情况下质量为m的物体的示力图。解：示力图如1-16题图所示1-17题 一质点做直线运动，速率，则任意时刻其加速度a=_，任意矢量=_。解：由加速度定义式得 =(12t3)再由速度定义式得两边积分得，且设t=0时，x0=0故1-18题 某质点的运动方程为，其中A,B,为常量，则质点的加速度矢量=_，轨迹方程为_。解：将运动方程对时间求两阶导数得将运动方程写成分量形式得 将两式消去t得，轨道方程为1-19题 一艘正在沿直线行驶的汽车，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度成正比，即a =-kv，式中k为常量，若发
11、动机关闭瞬间汽车的速度为v0，试求该汽车又行驶x距离后的速度。解：由加速度定义式变形得即两边积分得1-20题 一无风的下雨天，一辆火车以20的速度前进，车内旅客看见玻璃窗上的雨滴与铅垂线成5下降，求雨滴下落的速度。(设下降的雨滴作匀速运动)解：设火车速度为牵连速度，雨滴下落速度为绝对速度，因天气无风，故雨滴下落速度方向应铅直向下，如1-20题图所示则 雨滴下落速度为1-21题 飞机A以A=1000 km/h的速率(相对地面)向南飞行，同时另一架飞机B以B=800 km/h的速率（相对地面）向东偏南30角飞行，求A机相对于B机的速度与B机相对于A机的速度。解：以B机为参照物，则地面相对于B机向西
12、偏北30方向以牵=800 km/h的速度运动（该速度为牵引速度）。而A机相对于地面向南以A=1000 km/h的速度运动(该速度为相对速度)，如1-21题图所示，则A相对于B的速度大小为AB=km/h=916 km/h方向tan=6/(431/2)=0.86=40541-22题 一人骑自行车向东而行，在速度为10 m/s时，觉得有南风，速度增至15m/s，觉得有东南风，求风的速度。解：设人相对于地的速度为牵速 牵速度，风相对于地的速度为绝对速度 风，风对人的速度为1和2。由图可知，1 =5 m/s,再由勾股定理得风=(102+52)1/2=551/211.8 km/s方向 tan=，=2631故风向为东偏北2631。1-23题 光滑的水平桌面上放有三个互相接触的物体，它们的质量m1 = 1 kg，m2 =
