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1、江西师范大学2010-2011第二学期期末考查试卷数学史概论2011.6姓名： 学号： 学院： 1、简要叙述19世纪群概念的产生对代数学的重要意义。2、概述高斯、波约和罗巴切夫斯基对非欧几何的贡献。3、何为“分析算术化”纲领？简要叙述魏尔斯特拉斯对分析严格化的贡献。4、简要叙述20世纪纯粹数学发展的主要特征或趋势。5、谈谈你对学完数学史的体会。1801年，高斯发表算术研究，这部象征近代数论起点的巨著，同时也打开了数学新世纪的大门。十九世纪前的数论主要是一些漂亮但却孤立的成果，高斯一方面将这些成果系统化，对问题及方法加以分类，同时开辟了全新的课题及方法。树立了严格证明的典范，认为找出简单漂亮的证
2、明，有助于掌握问题的实质并发现不同问题间的联系(典型的是他给出了二次互反律的七个证明)。) E# t/ 4 f# T 高斯的观点代表了十九世纪对数学严密性追求的时代精神，也指出了纯粹数学发展的一条途径。同年，高斯依据少量观测数据，运用误差分析等方法计算出谷神星的轨道，准确地预报了这颗小行星在天空出现的时刻，哄动了科学界。高斯在一生中始终对理论与应用同等重视，他的成就一直鼓舞着最有才华的数学家。他和阿基米德、牛顿一起，被认为是历史上最伟大的数学家。1825年左右，波尔约和罗巴切夫斯基分别得到同样的结果，并推演了这种新几何中的一些定理。罗巴切夫斯基1829年的文章论几何基础是最早发表的非欧几何著作
3、，因此这种几何也称为罗巴切夫斯基几何。这项发现的技术细节是简单的，但观念的变革是深刻的，欧氏几何不再是神圣的，数学家步入了创造新几何的时代。 非欧几何对人们认识物质世界的空间形式提供了有力武器，但由于它背叛传统，创立之初未受到数学界的重视。只是当高斯有关非欧几何的通信和笔记在他1855年去世后出版时，才因高斯的名望而引起数学家们的关注。/ x% l7 k& c% a/ K; Y1 z r | 十九世纪前半叶最热门的几何课题是射影几何。1822年，彭赛列发表论图形的射影性质，这是他18131814年被俘关在俄国时开始研究的总结。他探讨几何图形在任一投影下所有截影所共有的性质，他的方法具有象解析几
4、何那样的普遍性。1827年左右，普吕克等人引进齐次坐标，用代数方法研究射影性质，丰富了射影几何的内容。4 % R- v) y) Q0 3 d 对纯几何问题兴趣的增长，并未减弱分析在几何中的应用。高斯从1816年起参与大地测量和地图绘制工作，引起他对微分几何的兴趣。1827年他发表的关于曲面的一般研究，为这一数学分支注入了全新的思想，开创了微分几何的现代研究。魏尔斯特拉斯在这一时期继续分析算术化的工作，提出了现代通用的极限定义，即用静态的方法(不等式)刻画变化过程。他构造出处处不可微的连续函数实例，告诫人们必须精细地处理分析学的对象，对实变函数论的兴起起了催化作用。在复变函数论方面，他提出了基于
5、幂级数的解析开拓理论。魏尔斯特拉斯的众多成果出自他任中学教员的时期，到1859年出任柏林大学教师后才广为人知。由于他为分析奠基的出色成就，后被誉为“现代分析之父”。罗巴切夫斯基是在尝试解决欧氏第五公设问题的过程中，从失败走上他的发现之路的。欧氏第五公设问题是数学史上最古老的著名难题之一，它是由古希腊学者最先提出来的。3群论19世纪末抽象群开始成为独立研究的对象，当时主要问题仍是以置换群为模式的有限群，问题涉及列举给定阶数的所有群以及群的可解性的判据当时主要的定理是由挪威数学家西洛(LSylow，18321918)在的而19世纪90年代群论最主要成就是群表示论的出现，它是由德国数学家福洛宾尼乌斯
6、奠定的后由他的学生舒尔(ISchur，18751941)所发展，成为研究群论不可缺少的工具所谓群表示即是把群具体实现为某种结构的自同构群，例如域F上的有限维线性空间的线性变换群，通常是把群的元素与F上的nn可逆矩阵相对应在英国数学家伯恩塞德(WBurnside，18521927)的经典著作有限阶群论(Theory of Groups of Finite Order)第二版(1911)已经进行综述并给出应用罗巴切夫斯基有一系列的几何学著作，如1835年的虚几何学、1836年的虚几何学在一些积分上的应用、1835年至1838年的几何学新原理及完整的平行线理论、1855年的泛几何学。这些说明，罗巴切
7、夫斯基是一位始终如一地在为建立非欧几何学作不懈的努力的学者。 罗巴切夫斯基在数学的其他领域也作出了贡献，并有一系列的论著。其中主要有：1834年的代数学或有限运算、关于三角级数的消失，1841年的关于无穷级数的收敛，1852年的关于一些定积分的值，等等。他在数学分析领域内发现了一些关于三角级数以及一般级数的定理。他还首先确定了函数连续性与可微性的区别，给出了“函数”的较准确的定义。罗巴切夫斯基有一系列的几何学著作，虚几何学、虚几何学在一些积分上的应用、几何学新原理及完整的平行线理论、泛几何学，罗巴切夫斯基是一位始终如一地在为建立非欧几何学作不懈的努力的学者。 罗巴切夫斯基在数学作出了贡献，其中
8、主要有：代数学或有限运算、关于三角级数的消失，关于无穷级数的收敛，关于一些定积分的值，等等。他在数学分析领域内发现了一些关于三角级数以及一般级数的定理。他还首先确定了函数连续性与可微性的区别，给出了“函数”的较准确的定1、19世纪以前的代数中心课题是解方程，由于伽罗瓦将群这个概念引入数学中，代数学的中心改为研究结构。群不仅仅是对代数学有影响，同样比如克莱因的爱尔兰根纲领就是用群得观点来叙述几何学。现代数学里李群、群表示都是基本工具。有限单群的分类更是20世纪的大成就之一。2、这三位数学家一般认为是非欧几何的创始人。其实早在他们之前就有人发展了平行公理不成立的几何学，比如萨开里、兰伯特。但正是这
9、三个人最先认识到非欧几何和欧式几何一样的合理，一样的可以应用。他们还独立给出非欧几何技术性的理论。3、19世纪以前的分析是建立在几何和直观上的，使得里面有很多缺陷。以柯西、波尔查诺和魏尔斯特拉斯为首的严格分析运动希望把分析建立在算术的基础上。特别是魏尔斯特拉斯他用-语言定义极限，给出第一个实数的严格处理，给出一个处处连续但处处不可微函数的例子，以及其他很多了不起的工作，使他享有“现代分析之父”的美称。4、20世纪纯粹数学发展的主要特征应该还是一般化、抽象化，这里最有名的应该是布尔巴基学派。大数学家阿蒂亚总结20世纪数学时列举了如下特征：从局部到整体、维数的增加、从交换到非交换、从线性到非线性等
10、等，他把20世纪分为：二十世纪前半叶是“专门化的时代”，二十世纪后半叶是“统一的时代”。魏尔斯特拉斯的函数使人们迫切感到彻底摆脱对几何直觉的依赖，重新考察分析基础，基于纯粹算术重建分析学的必要性。由此引来了19世纪后半叶的“分析算术化”运动。在数学史上，魏尔斯特拉斯因对分析严格化的贡献而赢得了“现代分析之父”的称号。这种严格化的突出表现是e-d语言的创立，还有一致收敛性的引进。可以说，数学分析达到今天所具有的严密形式，本质上不能缺少魏尔斯特拉斯的工作。魏尔斯特拉斯认为实数是全部分析的本源。要使分析严格化，首先就要使实数系本身严格化。为此最可靠的办法是按照严密的推理将实数归结为整数（有理数）。这
11、样，分析的所有概念便可由整数导出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填补。这就是所谓“分析算术化”纲领。1857年，魏尔斯特拉斯给出了第一个严格的实数定义，这个定义大意是先从自然数出发定义正有理数，然后通过无穷多个有理数的集合来定义实数。但没有正式发表。纯粹数学是19世纪的遗产，按照罗素，英国大数学家哲学家罗素的说法，就是说，19世纪，有一个可以跟蒸汽机的使用等等电气的使用可以相提并论的一顶桂冠，就是说，纯粹数学的发现，他认为，纯粹数学主要是19世纪的产物，20世纪，纯粹数学得到了巨大的发展，纯粹数学这个前沿在20世纪不断的挺进，而且，产生出很多令人惊异的成就。20世纪纯粹数学的发展，表现下面这样一个
12、特征跟趋势。也就是首先，就是说，更高的抽象化，第二个特征或者叫趋势，更强的统一性，第三个趋势是更深入地对基础的探讨。我后面两个特征，实际上，本质上也是属于抽象化，所以我今天重点还是谈谈20世纪纯粹数学里面更高的抽象化这样一个趋势，那么，抽象化本来是数学的固定的特征，那么，20世纪的抽象化它跟以前的数学发展有什么不同呢？我想20世纪数学的抽象化主要是受了两大因素的推动，一个就是集合论的观点，还有一个是公理化的方法，数学史是理解数学知识发展的一个历史途径。陈先生曾经说过，“理解一门科学的历史是理解这门科学的一个途径”。个就是要了解数学它有多大的文化价值，我觉得数学的历史是非常好的一个途径。就是说传达这个科学精神。历史上有一些榜样，你可以去给学生讲，也需要你老师知道得更多，你才能做选择。需要老师有比较高的数学史的素养，而这个素养不光是你去教数学史，对你怎么教好数学也是有用的扩大学生的知识视野，了解历史上相应知识的发展和做法了解中国的数学历史渊源，加强学生的爱国热情通过了解历史人物的探究过程，提高学生探究新知的意识了解中国数学的发展历史，发展学生的情感
