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1、2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1. 已知全集，则集合（ ）。A B C D2.设复数z满足，则（ ）。A B C D3.已知，则（ ）。A B C D4.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）。A若则 B若，则C若，则 D若，则5. 设是非零向量，已知命题P：若，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（ ）。A B C D6.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（ ）。A B C D7
2、. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）。A B C D俯视图8. 已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（ ）A B-1 C D9. 设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）.A B C D10.已知为偶函数，当时，则不等式的解集为（ ）A B C D11. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）.A在区间上单调递减 B在区间上单调递增C在区间上单调递减 D在区间上单调递增12. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A B C D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 执行右侧的程序
3、框图，若输入，则输出 .14.已知x，y满足条件，则目标函数的最大值为 .15. 已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 .16. 对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）（本小题满分12分）在中，内角A，B，C的对边，且，已知，求：（1）和的值； （2）的值.18. （本小题满分12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生6
4、02080北方学生101020合计7030100（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率. 0.1000.0500.0102.7063.8416.635附：19. （本小题满分12分）如图，和所在平面互相垂直，且，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点.（1）求证：平面BCG； （2）求三棱锥D-BCG的体积.附：椎体的体积公式，其中S为底面面积，h为高.20. （本小题满分12分）圆的切线与x轴正半轴，y轴正半
5、轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）.（1）求点P的坐标；（2）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线交于A，B两点，若的面积为2，求C的标准方程.21. （本小题满分12分）已知函数，.证明：（1）存在唯一，使；（2）存在唯一，使，且对（1）中的.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.（1）求证：AB为圆的直径
6、；（2）若AC=BD，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（1）写出C的参数方程；（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数，记的解集为M，的解集为N.（1）求M； （2）当时，证明：。2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）试题参考答案一、选择题：（1）D （2）A （3）D （4）B （5）A （6）B（7）C （8）C （9）D
7、（10）A （11）B （12）C二、填空题：（13）20 （14）18 （15）12 （16）-1三、解答题：（17）解：（）由得。又，所以。由余弦定理得。又因为，所以。解得或。因为，所以。（）在中，。由正弦定理得，所以。因为，所以角C为锐角。（22）（）证明：因为PD =PG,所以。由于PD为切线，所以由弦切角定理得。由对顶角相等可知。所以，从而。由于，所以。所以AB是直径。（）连接BC和DC。由于AB是直径，所以。在与中，AB=BA，AC=BD，所以与。于是。由于，所以。于是ED为直径，所以AB=ED。（23）解：（1）设为圆上任意一点，按题中要求变换后的点。根据题意得，所以。由得。故C的参数方程为（为参数）。（2）由解得或。不妨设，则线段中点坐标。所求直线的斜率为，于是所求直线方程为，即。化为极坐标方程为，即。（24）（）解：。当时，解得；当时，解得。所以的解集为M。（）证明：，解得。当时，。，。所以。.
