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1、函数的图象与性质.知识框架普通高中数学复习讲义Word版函数的图像与性质模块框架高考要求要求层次要点观点和图象特点单一性C熟知函数的性质和图象函数的性质简单函数奇偶性的奇偶性B判断和证明周期性简单函数周期性的B判断和证明知识内容一、函数单一性（一）主要知识：难点函数单一性的证明和判断简单函数单一区间的求法复合函数的奇偶性判断与证明抽象函数的奇偶性复合函数的周期性判断与证明抽象函数的周期性1.函数单一性的定义：假如函数fx对区间D内的随意x1,x2，当x1x2时都有fx1fx2，则称fx在D内是增函数；当x1x2时都有fx1fx2，则fx在D内时减函数设函数yf(x)在某区间D内可导，若fx0，
2、则yf(x)为xD的增函数；若fx0，则yf(x)为xD的减函数2.单一性的定义的等价形式：设x1,x2a,bfx1fx20fx在a,b是增函数；，那么x1x2fx1fx20fx在a,b是减函数；x1x2x1x2fx1fx20f(x)在a,b是减函数复合函数单一性的判断：“同增异减”函数单一性的应用利用定义都是充要性命题即若f(x)在区间D上递加（递减）且f(x1)f(x2)x1x2（x1,x2D）；若f(x)在区间D上递递减且f(x1)f(x2)x1x2（x1,x2D）比较函数值的大小可用来解不等式求函数的值域或最值等（二）主要方法1议论函数单一性一定在其定义域内进行，所以要研究函数单一性一
3、定先求函数的定义域，函数的单一区间是定义域的子集；2判断函数的单一性的方法有：用定义；用定义法证明函数单一性的一般步骤：取值：即设x1，x2是该区间内的随意两个值，且x1x2作差变形：经过因式分解、配方，有理化等方法，向有益于判断差的符号的方向变形定号：确立差f(x1)f(x2)（或f(x2)f(x1)）的符号，若符号不确立，能够进行分类议论下结论：即依据定义得出结论，注意下结论时不要忘掉说明区间用已知函数的单一性；利用函数的导数；假如f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一非空子区间上也是增（减）函数；图象法；复合函数的单一性结论：“同增异减”；复合函数的观点：假如y是u的函
4、数，记作yf(u)，u是x的函数，记为的定义域的交集非空，则经过u确立了y是x的函数yug(x)，且g(x)的值域与f(u)fg(x)，这时y叫做x的复合函数，此中u叫做中间变量，uf(u)叫做外层函数，ug(x)叫做内层函数注意：只有当外层函数f(u)的定义域与内层函数g(x)的值域的交集非空时才能组成复合函数fg(x)奇函数在对称的单一区间内有同样的单一性，偶函数在对称的单一区间内拥有相反的单一性互为反函数的两个函数拥有同样的单一性在公共定义域内，增函数f(x)增函数g(x)是增函数；减函数f(x)减函数g(x)是减函数；增函数f(x)减函数g(x)是增函数；减函数f(x)增函数g(x)是
5、减函数函数yaxb(a0,b0)在,b或b,上单一递加；在b,0或0，bxaaaa上是单一递减二、函数的奇偶性与对称性（一）主要知识：1奇函数：假如对于函数yf(x)的定义域D内随意一个x，都有xD，且f(x)fx()，那么函数f(x)就叫做奇函数；2偶函数：假如对于函数yg(x)的定义域D内随意一个x，都有xD，都有g(x)g(x)，那么函数g(x)就叫做偶函数3图象特点：假如一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，假如一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；假如一个函数是偶函数，则它的的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，
6、反之，假如一个函数的图象对于y轴对称，则这个函数是偶函数4奇偶函数的性质：函数拥有奇偶性的必需条件是其定义域对于原点对称；f(x)是偶函数f(x)的图象对于y轴对称；f(x)是奇函数f(x)的图象对于原点对称；奇函数在对称的单一区间内有同样的单一性，偶函数在对称的单一区间内拥有相反的单一性f(x)为偶函数f(x)f(x)f(|x|)若奇函数f(x)的定义域包括0，则f(0)0对称性对于y轴对称：f(x)f(x)；对于原点对称：f(x)f(x)；对于直线xa对称：f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)；对于点(a,b)对称：f(x)2bf(2ax)或f(ax)bbf(ax)。（二）主要方法：
7、1.判断函数的奇偶性的方法：定义法：第一判断其定义域能否对于原点中心对称若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断f(x)f(x)或f(x)f(x)能否认义域上的恒等式；图象法；性质法：设f(x)g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域DD1D2，上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；2.判断函数的奇偶性有时能够用定义的等价形式：f(x)f(x)0，f(x)1f(x)三、函数的周期性（一）主要知识：1周期函数：对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(xT)f(x)恒建立，则称函数f(x)拥有周期性，T叫做f
8、(x)的一个周期，则kT（kZ,k0）也是f(x)的周期，全部周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期2几种特别的抽象函数：拥有周期性的抽象函数：函数yfx知足对定义域内任一实数x（此中a为常数），fxfxa，则yfx是以Ta为周期的周期函数；fxafx，则fx是以T2a为周期的周期函数；fxa1x是以T2a为周期的周期函数；f，则fxfxafxa，则fx是以T2a为周期的周期函数；f(xa)1f(x)，则fx是以T2a为周期的周期函数1f(x)f(xa)1f(x)，则fx是以T4a为周期的周期函数1f(x)f(xa)1f(x)，则fx是以T4a为周期的周期函数1f(x)函数yf(x)知足f(a
9、x)f(ax)（a0），若f(x)为奇函数，则其周期为T4a，若f(x)为偶函数，则其周期为T2a函数yf(x)xR的图象对于直线xa和xbab都对称，则函数f(x)是以2ba为周期的周期函数；函数yf(x)xR的图象对于两点Aa,y0、Bb,y0ab都对称，则函数f(x)是以2ba为周期的周期函数；函数yf(x)xR的图象对于Aa,y0和直线xbab都对称，则函数f(x)是以4ba为周期的周期函数；（二）主要方法：1判断一个函数是不是周期函数要抓住两点：一是对定义域中随意的x恒有f(xT)f(x)；二是能找到合适这一等式的非零常数T，一般来说，周期函数的定义域均为无穷集2解决周期函数问题时，
10、要注意灵巧运用以上结论，同时要重视数形联合思想方法的运用，还要注意依据所要解决的问题的特点来进行赋值四、函数图象1）作图方法：以分析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的要点。作函数图象的步骤：确立函数的定义域；化简函数的分析式；议论函数的性质即单一性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋向）；描点连线，画出函数的图象。运用描点法作图象应防止描点前的盲目性，也应防止盲目地连点成线要把表列在要点处，要把线连在合适处这就要求对所要绘图象的存在范围、大概特点、变化趋向等作一个大体的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换
11、法作函数图象要确立以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确立如何的变换，这也是个难点。2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；平移变换：、水平平移：函数yf(xa)的图像能够把函数yf(x)的图像沿x轴方向向左(a0)或向右(a0)平移|a|个单位即可获得；左移h右移h1）y=f(x)y=f(x+h)；2）y=f(x)y=f(xh)；、竖直平移：函数yf(x)a的图像能够把函数yf(x)的图像沿x轴方向向上(a0)或向下(a0)平移|a|个单位即可获得；上移h下移h1）y=f(x)y=f(x)+h；2）y=f(x)y=f(x)h。对称变换：、函数yf(x)的图像能够将函数yf(x)的图像对于y轴对称即可获得；y轴y=f(x)y=f(x)、函数yf(x)的图像能够将函数yf(x)的图像对于x轴对称即可获得；x轴y=f(x)y=f(x)、函数yf(x)的图像能够将函数yf(x)的图像对于原点对称即可获得；原点y=f(x)y=f(x)、函数xf(y)的图像能够将函数yf(x)的图像对于直线yx对称获得。直线yxy=f(x)x=f(y)、函
