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1、广州中考数学 二次函数 综合题一、二次函数1如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作ACx轴交抛物线于点C，AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值； （3）如图，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（
2、2）当m=时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P点的坐标为 ：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）. 【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明OMPPNF，根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把
3、A（0，3）代入得：3=3a，a=1，抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），OE平分AOB，AOB=90，AOE=45，AOE是等腰直角三角形，AE=OA=3，E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PGy轴，交OE于点G，G（m，m），PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，S四边形AOPE=SAOE+SPOE，=33+PGAE，=+3（-m2+5m-3），=-m2+m，=（m-）2+，-0，当m=时，S有最大值是；（3）如图3，过P作MNy轴，交y轴于M，交l于N，OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得OMPPNF，OM=PN，P
4、（m，m2-4m+3），则-m2+4m-3=2-m，解得：m=或，P的坐标为（，）或（，）；如图4，过P作MNx轴于N，过F作FMMN于M，同理得ONPPMF，PN=FM，则-m2+4m-3=m-2，解得：x=或；P的坐标为（，）或（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题2新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查
5、发现，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：y=2x+320（80x160）设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元（1）求w与x之间的函数关系式；（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快那么销售单价应定为多少元？【答案】（1）w=2x2+480x25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元（3）销售单价应定为100元【解析】【分析】（1）用每件的利润乘以销售量即可得到每天的销售利润，即 然后化为一般式即可；（2）把（1）中的解析
6、式进行配方得到顶点式然后根据二次函数的最值问题求解；（3）求所对应的自变量的值，即解方程然后检验即可.【详解】（1） w与x的函数关系式为： （2） 当时，w有最大值w最大值为3200答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元（3）当时， 解得： 想卖得快，不符合题意，应舍去答：销售单价应定为100元3如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1, 0）、C（3, 0）、D（3, 4）以A为顶点的抛物线yax2bxc过点C动点P从点A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒过点P作PEx轴交抛物线于点M，交AC于点N （1）直接写出点
7、A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）当t为何值时，ACM的面积最大？最大值为多少？（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？【答案】（1）A（1，4）；yx22x3；（2）当t时，AC面积的最大值为1；（3）或【解析】（1）由矩形的性质得到点A的坐标，由抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为ya（x1）24，把点C的坐标代入即可求得a的值；（2）由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标，由A、C的坐标得到直线AC的解析式，进而得到点N的坐标，即可用关于t的式子表示MN，然后根据ACM的面积是AM
8、N和CMN的面积和列出用t表示的ACM的面积，利用二次函数的性质即可得到当t时，AC面积的最大值为1；（3）当点在点上方时，由PCQ，PNCQ，得到四边形PNCQ为平行四边形，所以当PQCQ时，四边形FECQ为菱形，据此得到，解得t值；当点在点下方时，NH=CQ=，NQCQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2CQ2，得：，解得t值解：（1）由矩形的性质可得点A（1，4），抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为ya（x1）24，代入点C（3, 0），可得a1y（x1）24x22x3（2）P（，），将代入抛物线的解析式，y（x1）24，M（，），设直线AC的解析式为，将A（,），C（,）代入，得：，将代
9、入得，N（，），MN ，当t时，AC面积的最大值为1（3）如图，当点在点上方时，（，），P（，），P（）CQ，又PNCQ，四边形PNCQ为平行四边形，当PQCQ时，四边形FECQ为菱形，PQ2PD2+DQ2 ，整理，得解得，（舍去）；如图当点在点下方时，NH=CQ=，NQCQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2CQ2，得：整理，得所以，（舍去）“点睛”此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.4如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y
10、(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系yat25tc，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）足球飞行的时间是s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.【解析】试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=t2+
11、5t+，当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=2.82+52.8+=2.252.44，于是得到他能将球直接射入球门解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），解得：，抛物线的解析式为：y=t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=2.82+52.8+=2.252.44，他能将球直接射入球门考点：二次函数的应用5抛物线（b，c为常数）与x轴交于点和，与y轴交于点A，点E为抛物线顶点。（）当时，求点A，点E的坐标； （）若顶点E在直线上，当点
12、A位置最高时，求抛物线的解析式；（）若，当满足值最小时，求b的值。【答案】（），；（）；（）.【解析】【分析】（）将（-1，0），（3，0）代入抛物线的解析式求得b、c的值，确定解析式，从而求出抛物线与y轴交于点A的坐标，运用配方求出顶点E的坐标即可；（）先运用配方求出顶点E的坐标，再根据顶点E在直线上得出吧b与c的关系，利用二次函数的性质得出当b=1时，点A位置最高，从而确定抛物线的解析式；（）根据抛物线经过（-1，0）得出c=b+1，再根据（）中顶点E的坐标得出E点关于x轴的对称点的坐标，然后根据A、P两点坐标求出直线AP的解析式，再根据点在直线AP上，此时值最小，从而求出b的值.【详解】
13、解：（）把点和代入函数，有。解得（）由，得点E在直线上，当时，点A是最高点此时，（）：抛物线经过点，有E关于x轴的对称点为设过点A，P的直线为.把代入，得把点代入.得，即解得，。舍去.【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式、最短距离，数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题6如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接. （1）求二次函数的表达式；（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明
14、理由.【答案】（1）二次函数的解析式为；（2）当时，的面积取得最大值；（3）点的坐标为，.【解析】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可； （2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DGx轴，交AE于点F，表示ADE的面积，运用二次函数分析最值即可； （3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可详解：（1）二次函数y=ax2+bx+c经过点A（4，0）、B（2，0），C（0，6），解得：，所以二次函数的解析式为：y=；（2）由A（4，0），E（0，2），可求AE所在直线解析式为y=，过点D作DNx轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EHDF，垂足为H，如图， 设D（m，），则点F（m，），DF=（）=，SADE=SADF+SEDF=DFAG+DFEH =DFAG+DFEH =4DF =2（） =，当m=时，ADE的面积取得最大值为 （3
