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1、高考数学精品复习资料 2019.5课时作业56定点、定值、探索性问题1过抛物线y22px(p0)上一定点P(x0，y0)(y00)分别作斜率为k和k的直线l1，l2，设l1，l2分别与抛物线y22px交于A，B两点，证明：直线AB的斜率为定值证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题易知k0.由消去x，得y2y2px00，由韦达定理得y0y1，所以y1y0.同理y0y2，得y2y0.由得y1y22y0，所以kAB，故直线AB的斜率为定值2已知椭圆1(ab0)经过点M(，1)，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点P(，0)，若A，B为已知椭圆上两动点，且满足2，试问直线AB是否恒
2、过定点？若恒过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由解：(1)由题意得，因为椭圆经过点M(，1)，所以1.又a2b2c2，由解得a28，b2c24，所以椭圆的标准方程为1.(2)当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm，代入1，消去y，整理得(2k21)x24kmx2m280.由0，得8k24m20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以(x1)(x2)y1y2(x1)(x2)(kx1m)(kx2m)(k21)x1x2(km)(x1x2)6m22，得(k21)x1x2(km)(x1x2)8m20，即(k21)(km)8m20，整理得(m2k)20，
3、从而mk，满足，所以直线AB的方程为yk，故直线AB恒过定点.当直线AB与x轴垂直时，若直线为x，此时点A，B的坐标分别为，满足2，此时直线x也过定点.综上，直线AB恒过定点.3(20xx河北质量监测)已知椭圆E：1的右焦点为F(c,0)且abc0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|4.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得24成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)由椭圆的对称性知|2a4，a2.又原点O到直线DF的距离为，bc，又a2b2c2
4、4，abc0，b，c1.故椭圆E的方程为1.(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为yk(x2)1，代入椭圆方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，x1x2，x1x2，32(6k3)0，k.24，即4(x12)(x22)(y11)(y21)5，4(x12)(x22)(1k2)5，即4x1x22(x1x2)4(1k2)5，424(1k2)45，解得k，k不符合题意，舍去存在满足条件的直线l，其方程为yx.1(20xx江西联考)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个焦点恰好与抛物线y24x的焦点重合(1)求椭圆
5、C的方程；(2)设椭圆的上顶点为A，过点A作椭圆C的两条动弦AB，AC，若直线AB，AC斜率之积为，直线BC是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由解：(1)设椭圆C的标准方程为1(ab0)，则e，c1，故a22，b21，椭圆C的标准方程为y21.(2)由(1)知A(0,1)，当直线BC的斜率不存在时，设BC：xx0，设B(x0，y0)，则C(x0，y0)，kABkAC，不合题意故直线BC的斜率存在设直线BC的方程为：ykxm(m1)，并代入椭圆方程，得：(12k2)x24kmx2(m21)0，由(4km)28(12k2)(m21)0得2k2m210.设B(x1，y1)
6、，C(x2，y2)，则x1，x2是方程的两根，由根与系数的关系得，x1x2，x1x2，由kABkAC得：4y1y24(y1y2)4x1x2，即(4k21)x1x24k(m1)(x1x2)4(m1)20，整理得(m1)(m3)0，又因为m1，所以m3，此时直线BC的方程为ykx3.所以直线BC恒过一定点(0,3)2(20xx西安质检)如图所示，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x28y的准线上(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P(2，)，Q(2，)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足APQBPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由解：(1)设椭圆C的标准方程为1(ab0)椭圆的一个顶点恰好在抛物线x28y的准线y2上，b2，解得b2.又，a2b2c2，a4，c2.可得椭圆C的标准方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，APQBPQ，则PA，PB的斜率互为相反数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为k，直线PA的方程为：yk(x2)，联立化为(14k2)x28k(2k)x4(2k)2160，x12.同理可得：x22，x1x2，x1x2，kAB.直线AB的斜率为定值.
