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1、课时作业(28)1若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为u(2,0，4)，则()AlBlCl Dl与斜交答案B解析u2a，ua，l.2平面的一个法向量为(1,2,0)，平面的一个法向量为(2，1,0)，则平面和平面的位置关系是()A平面 B相交但不垂直C垂直 D重合答案C解析由(1,2,0)(2，1,0)122(1)000，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直3已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A(，) B(，)C(，) D(，)答案D解析(1,1,0)，(1,0,1)，设平面ABC的一个法向量n(x，y，z)，令
2、x1，则y1，z1，n(1,1,1)单位法向量为(，)4已知点A，B，C平面，点P，则0且0是0的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析已知0，0()0.若A、B、C三点共线0，0.若A，B，C三点不共线DD0，0.5已知a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，则下列结论正确的是()Aac，bc Bab，acCac，ab D以上都不对答案C解析ab0，ab，c2a，ca.6已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)若|a|，且a分别与，垂直，则向量a为()A(1,1,1)B(1，1，1)C(1,1,1)或(1，1，
3、1)D(1，1,1)或(1,1，1)答案C解析(2，1,3)，(1，3,2)，设a(a，b，c)，bca.a2b2c23，a21a1.a(1,1,1)或(1，1，1)7若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)答案D解析l平面，an.an0，只有D符合8ABC的顶点分别为A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，则AC边上的高BD等于()A5 B.C4 D2答案A解析设，D(x，y，z)，由0，得，(4，)，|5.9如图所示，
4、正方体ABCDABCD中，棱长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且BECFa(0a1)，则DE与BF的位置关系是()A平行 B垂直C相交 D与a值有关答案B解析方法一如下图甲所示，连接AB，AB，AF，DE易知AB是DE在平面ABBA上的射影ABAB，DEAB.又由BECF，知ECFD，而ADCD，RtDCERtADF.EDCFAD.而EDCEDA90，FADEDA90，从而AFDE.又易知DE是DE在底面ABCD上的射影，DEAF.综上，知DE平面ABF，从而DEBF.方法二建立如图乙所示空间直角坐标系则D(0,0,1)，E(1a,1,0)，B(1,1,1)，F(0,1a,0)，(1a,1
5、，1)，(1，a，1)(1a)(1)1(a)(1)(1)a1a10.，即DEBF.10设平面与向量a(1,2，4)垂直，平面与向量b(2,3,1)垂直，则平面与位置关系是_答案垂直解析由已知a，b分别是平面，的法向量ab2640，ab，.11设a(1,2,0)，b(1,0,1)，则“c(，)”是“ca，cb且c为单位向量”的_(将正确的序号填上)充要条件充分不必要条件必要不充分条件既非充分条件也非必要条件答案解析当c(，)时，ca，cb且c为单位向量，反之则不成立12下列命题中，所有正确命题的序号为_若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2；若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n20；
6、若n是平面的法向量，a与共面，则na0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直答案13如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点(1)求证：AM平面BDE；(2)求证：AM平面BDF.解析(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设ACBDN，连接NE.则点N、E的坐标分别为(，0)、(0,0,1)(，1)又点A、M的坐标分别是(，0)、(，1)，(，1)且NE与AM不共线NEAM.又NE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE.(2)同(1)，(，1)，D(，0,0)，F(，1)，(0，1)0.同理.又DFBFF，AM平面BDF.14
7、.如右图所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，E、F分别是PC、PD的中点，PAAB1，BC2.(1)求证：EF平面PAB；(2)求证：平面PAD平面PDC.思路建立空间直角坐标系后，使用向量的共线定理证明即可证明第(1)问，第(2)问根据向量的垂直关系证明线线垂直，进而证明线面垂直，得出面面垂直解析以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如右图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E为(，1，)，F为(0,1，)(，0,0)，(1,0，1)，(0,2，1)，(0,0,1)
8、，(0,2,0)，(1,0,0)，(1,0,0)(1)因为，所以，即EFAB.又AB平面PAB，EF平面PAB，所以EF平面PAB.(2)因为(0,0,1)(1,0,0)0，(0,2,0)(1,0,0)0，所以，即APDC，ADDC.又APADA，AP平面PAD，AD平面PAD，所以DC平面PAD.因为DC平面PDC，所以平面PAD平面PDC.15如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M为EC的中点，AFABBCFEAD.证明：平面AMD平面CDE.解析方法一因为DCDE且M为CE的中点，所以DMCE.取AD中点为P，连接MP，则MPCE.又MPDMM，故CE
9、平面AMD.而CE平面CDE，所以平面AMD平面CDE.方法二如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点设AB1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M(，1，)由(，1，)，(1,0,1)，(0,2,0)，可得0，0.因此，CEAM，CEAD.又AMADA，故CE平面AMD.而CE平面CDE，所以平面AMD平面CDE.16.(2013西城区)如图，ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE3AF，BE与平面ABCD所成角为60.(1)求证：AC平面BDE；(2)设点M是线段BD上一个动点，试确定M的位置，使得A
10、M平面BEF，并证明你的结论解析(1)因为DE平面ABCD，所以DEAC.因为ABCD是正方形，所以ACBD.从而AC平面BDE.(2)因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系Dxyz如图所示因为BE与平面ABCD所成角为60，即DBE60，所以.因为正方形ABCD的边长为3，所以BD3，所以DE3，AF.则A(3,0,0)，F(3,0，)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)所以(0，3，)，(3,0，2)设平面BEF的法向量为n(x，y，z)，则即，令z，则n(4,2，)点M是线段BD上一个动点，设M(t，t,0)则(t3，t,0)因为AM平面BEF，所以n0.
11、即4(t3)2t0，解得t2.此时，点M为(2,2,0)，BMBD，符合题意1. 如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB4，点E在CC1上，且C1E3EC.证明：A1C平面BED.解析以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系Dxyz.依题设B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)(0,2,1)，(2,2,0)，(2,2，4)，(2,0,4)因为0，0，故A1CBD，A1CDE.又DBDED，所以A1C平面BED.2已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，BAD90，2AB2ADCD，侧面PAD是正三角形且垂直于底面
12、ABCD，E是PC的中点(1)求证：BE平面PCD；(2)在PB上是否存在一点F，使AF平面BDE?解析(1)证明以AD的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设ABAD2，则有B(1,2,0)，C(1,4,0)，D(1,0,0)，P(0,0，)，E(，2，)(，0，)，(1,4，)(0，4,0)，(，0，)(1,4，)0，(，0，)(0，4,0)0.即BEPC，BECD.又PCCDC，BE平面PCD.(2)解析设平面BDE的法向量为n(x，y，z)，n，n，n0，n0.令y1，则x1，z.平面BDE的一个法向量为(1，1，)取PB中点F，则有F(，1，)又A(1,0,0)，(，1，)n(，1，)(1，1，)10，n.又n是平面BDE的法向量，且AF平面BDE，AF平面BDE.故存在PB中点F使AF平面BDE.3已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点(1)求证：DE平面ABC；(2)求证：B1F
