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1、第二章,一元二次函数、方程和不等式单元测试（基础卷）（解析版） 第一册第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、单选题 1 下列结论正确的是（ ） A 若 a b ，则1 1b a B 若2 2a b ，则 a b ， c d 则 a d b c - - D 若 a b ，则2 2ac bc 【答案】C 【解析】 【分析】 先举例说明 ABD不成立，再根据不等式性质说明 C 成立. 【详解】 当 1, 2 a b = = - 时，满足 a b ，但1 1b a 不成立，所以 A错； 当 1, 2 a b = = - 时，满足2 2a b ，但 a b ，但
2、2 2ac bc 不成立，所以 D错； 因为 c d 所以 d c - - ，又 a b ，因此同向不等式相加得 a d b c - - ，即 C 对； 故选：C 【点睛】 本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题. 2 下列不等式的解集是空集的是 A x 2 -x+10 B -2x 2 +x+10 C 2x-x 2 5 D x 2 +x2 【答案】C 【解析】 试题分析：A 开口向上， 0 D ，所以解集是 R 空集；B 解集为1| 12x x - ；C 变形为22 5 0 x x - + 开口向上， 0 D ，解得 | 2 1 x x - ，则 4 a b + 是 4 ab 的（
3、 ） A 充分不必 要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 试卷第 2 页，总 16 页 【答案】A 【解析】 【分析】 本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用特殊值法，通过特取 , a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】 当 0, 0 a b 时， 2 a b ab + ，则当 4 a b + 时，有 2 4 ab a b + ，解得 4 ab ，充分性成立；当 =1, =4 a b 时，满足 4 ab ，但此时 =54 a+b ，必要性不成立，综上所述， 4 a b +
4、 是 4 ab 的充分不必要条件. 【点睛】 易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用赋值法，通过特取 , a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 4 已知 2 6 a = + ， 4 b =， 3 5 c = + ，则 a 、 b 、 c 的大小关系为（ ） ） A a b c B c a b C c b a D b c a 【答案】D 【解析】 【分析】 比较2a 、2b 、2c 的大小，进而可得出 a 、 b 、 c 的大小关系. 【详解】 ( )222 6 8 2 12 a = + = + ，( )223 5 8 2 15 c = + = +
5、 ， 又 8 2 12 8 2 15 8 2 16 16 + + + = ，即2 2 2a c b . 故选：D. 【点睛】 本题考查数的大小比较，考查推理能力，属于基础题. 5 几何原本卷 2 2 的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为 无字证明 .现有如下图形： AB 是半圆 O 的直径，点 D 在半圆周上， CD AB 于点 C ，设 AC a = ， BC b = ，直接通过比较线段 OD 与线段 CD 的长度可以完成的 无字证明 为（ ） A (0, 0)b m bb a ma m
6、a+ + B 2 22( )( 0, 0)2a b a b a b + + C 2( 0, 0)abab a ba b + D ( 0, 0)2a bab a b+ 【答案】D 【解析】 OD 是半圆的半径， AB a b = + 为圆的直径，2a bOD+ = ，由射影定理可知，2, CD AC BC ab CD ab = = = ，在 Rt ODC D 中， OD CD ，2a bab+ ，当 O 与 C 重合时， =2a bab+，所以2a bab+ ，故选 D. 6 糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为( )bc a ba= 糖的质量 克糖水的质量 克，向糖水（不饱和）中再加入 m克糖，
7、那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为（ ） ） A b b ma a m+ B b b ma a m+ D b b ma a+ 【答案】B 【解析】 【分析】 依题意得到不等关系，即可得解. 【详解】 解：依题意，向糖水（不饱和）中再加入 m 克糖，此时糖水的浓度为b ma m+，根据糖水更甜，可得b b ma a m+ + + + = ，当且仅当 1 x= 时，取得等号， 所以113 xx+ +的最大值为15， 所以15a . 故选：A 【点睛】 此题考查不等式恒成立求参数范围，通过转化成求解函数的最值问题，结合已学过的函数模型进行求解，平常学习中积累常见函数处理办法可以
8、事半功倍. 8 若关于 x 的不等式22 0 x ax + - 在区间 1,5 上有解，则实数 a 的取值范围为（ ） ） A 23 ,5 - + B 23,15 - C (1, ) + D ( ,1) - 【答案】A 【解析】 【分析】 用分离参数法转化为求函数的最值 【详解】 因为关于 x 的不等式22 0 x ax + - 在区间 1,5 上有解，所以22 2 xa xx x- = - 在 1,5 上有解，易知2= - y xx在 1,5 上是减函数，所以 1,5 x 时，min2 2 2355 5xx - = - = - ， 所以235a - 故选：A 【点睛】 本题考查不等式有解问题
9、，解题方法是用分离参数法转化为求函数的最值 二、多选题 9 数 对于任意实数 a ， b ， c ， d ，有以下四个命题，其中正确的是（ ） ） A 若 a b ， c d ，则 ac bd B 若2 2ac bc ，则 a b C 若 a b ，则1 1a b ， c d ，则 a d b c - - 【答案】BD 【解析】 【分析】 （1）可举反例证明不正确.（2）因为2 2ac bc 成立，则20 c .（3） a 为正数， b 为负数时不成立.（4）因为 c d ，则 c d - - . 【详解】 A 选项： 3 5 - - ， 1 4 - ，但是 ( ) 3 1 5 4 - 成立，
10、则20 c ，那么 a b ，B 正确； C 选项： 2 3 - ，但是1 12 3 - ，C 不正确； D 选项：因为 c d ，则 c d - ，所以 a d b c - - ，D 正确. 故选：BD 【点睛】 此题考查不等式比较大小，一般可通过特值法证伪判错，属于简单题目. 10 下列结论正确的是（ （ ） ） A 当 0 x 时，12 xx+ B 当 2 x 时，1xx+ 是 的最小值是 2 C 当54x ，0 y ，且 2 x y + = ，则1 4x y+的最小值是92 【答案】AD 【解析】 【分析】 试卷第 6 页，总 16 页 由基本不等式成立的前提条件是一正、二定，三相等，
11、可得选项 A,D正确， B,C 错误. 【详解】 对于选项 A，当 0 x 时， 0 x ，1 12 2 x xx x+ = ，当且仅当 1 x= 时取等号，结论成立，故 A正确； 对于选项 B，当 2 x 时，1 12 2 x xx x+ = ，当且仅当 1 x= 时取等号，但 2 x ，等号取不到，因此1xx+ 的最小值不是 2，故 B 错误； 对于选项 C，因为54x ，则1 14 2 5 4 3 24 5 5 4y x xx x = - + = - - + + - - - ( )15 4 3 15 4xx- + =-，当且仅当15 45 4xx- =-，即 1 x= 时取等号，故 C 错误； 对于选项 D，因为 0 x ， 0 y ，则( )1 4 1 1 4 1 4 1 4 95 2 52 2 2 2y x y xx yx y x y x y x y + = + + = + + + = ，当且仅当4 y xx y=，即2 4,3 3x y = = 时，等号成立，故 D正确. 故选：AD. 【点睛】 本题考查了均值不等式成立的前提条件是一正、二定，三相等，重点考查了运算能力，属中档题. 11 若23 4 0 x x + - 是 ( )2 22 3 3 0 x k x k k - + +
