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1、高中数学培养运算能力的方法探讨一、算法方面的基本要求（1）能透彻理解数学概念,并能运用有关概念进行运算.培养运算能力的首要前提,是让学生准确掌握数学概念,在理解的基础上记忆,运用公式,法则,并在运用过程中加深理解.根据美国心理学家奥苏贝尔的意义学习理论,所谓理解,就是符号所表示的新知识与学习者认知结构中已有的适当的知识建立非人为的和实质性的联系.具体地说,理解就是在感知的基础上,通过思维加工,把新学习的内容同化于已有的认知结构,或者改变原有的认知结构,把新知识纳入其中,以获得对事物本质和联系的认识.例 已知A =1,2,3,k ,B=4,7,a4,a2+3a,aN*,kN*,xA,yB,f :
2、 xy= 3x+1是从集合A到集合B的一个函数，求a ,k, A, B【解析】 由对应关系：14,27,310,k3k+1,aN*, a410. 可知a2+3a= 10得 a=2或a= -5(舍去) a4= 16.又3k+1= 16 k= 5.故 A =1,2,3,5,B =4,7,10,16本题中考查的概念就是集合和函数，集合中的元素具有确定性、互异性和无序性，而函数要求的像的唯一性，决定了3k+1= 16 是本题的关键。加深了对函数概念的理解，从而能够准确建立方程，提高了运算的有效性，形成了运算能力。（2）能深刻理解数学公式,运算法则的语法结构，运用公式解决问题.已知a,b,c为不等的正数
3、，且abc = 1.求证 + 【解析】a, b, c是不等的正数,且abc = 1 a = , + = = 本题要求准确理解数学公式，深刻领悟数学公式2 (a , b是不等的正实数) 及其变形 (a , b是不等的正实数) 其次要求正确利用题给条件abc =1及其变形形式。 二、运算技能方面的要求 （1）在进行各种运算时,过程要合理,方法要简捷,结果要正确. 例 求函数y = (x R)的最值. 【解析】y = 2y ycosx = 2 + cosx, cosx = .又 1 (2y-2)2(y+1)2, 3y2 10y + 30解得 ymin = ymax = 3 本题对函数解析式的变形要熟
4、练，函数的有界性准确把握，变形过程合理、简捷。（2）能根据问题的需要灵活自如地变换运算的方法. 已知实数x, y满足方程x2 + y2 4x+1=0. 求的最大值和最小值. 求y -x的最小值. 求x2+y2的最大值和最小值 【解析】方程x2 + y2 4x+1=0.表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆。 设=k,即 y = kx,由圆心（2，0）到直线 y = kx y 的距离为半径时直线与圆相切， P 斜率取得最大值、最小值。 O c x 由点到直线的距离公式得 解得k2 =3所以 kmax= ,kmin= -。设y x = b ,则 y = x + b , 仅当直线y = x + b与
5、圆切于第四象限时，纵轴截距b取得最小值。由点到直线的距离公式，得 即故 (y x )min = -2 - 。 x2 + y2 是圆上点与原点距离的平方，故连接oc，与圆交于B点，本延长交圆于D，则 ( x2 + y2 )max = ( x2 + y2 )min = 本题设变量代入，灵活变形；充分运用数形结合的思想方法，解决了问题。（3）能简化运算过程,缩短运算环节,较快地进入“跳步”运算阶段. 例 设函数f (x) = +lg 试判断函数f (x)的单调性，并给出证明；若函数f (x)的反函数为f -1(x)，证明方程f -1(x) =0有唯一解。【解析】设u = = -1 + , 由lg可知 得 0 解之得 - 1 x 1.设 1 x1 x2 1U1 u2 = -1 + -( -1 + ) = - =2 1 x1 x2 1 0 U1 u2 ， 故u = 在（ -1,1）上减函数；而 lg的单调性与 单调性相同，故lg在（-1，1）上减函数。显然 v = 是减函数， f(x)在（-1，1）是减函数。 根据原函数f(x)与反函数f -1(x)的关系可知，f -1(x)与f(x)单调性相同。 方程f -1(x) =0 的唯一解为 x = 。本题中原函数的单调性的证明被合理简化。同时，原函数反函数相同的单调性又能充分说明反函数所对应的方程解是唯一的，实现了“跳步”运算。
