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1、(完整word版)三角函数专题讲义三角函数专题 一、核心知识点归纳： 1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数性质 图象定义域值域最值当时，;当 时，当时， ；当时，既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数;在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴2。正、余弦定理：在中有:正弦定理：（为外接圆半径) 注意变形应用面积公式：余弦定理： 二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。（1）注意隐含条件的应用：1cos2xsin2x。（2）角的配凑。(）,等。（3）升幂与降幂。主要用2倍角的余弦。（4）
2、化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。(5）引入辅助角。asinbcossin(),这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角 的值由tan确定。2。解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式,找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化三、例题集锦：考点一:三角函数的概念1. 如图,设是单位圆和轴正半轴的交点，是单位圆上的两点，是坐标原点， （1）若，求的值；（2)设函数，求的值域单位圆中的三角函数定义解：（）由已知可得2分 3分 4分 （） 6分 7分 8分 9分 12分 的值域是13分2 已
3、知函数。()若点在角的终边上，求的值； （)若，求的值域。三角函数一般定义解:()因为点在角的终边上， 所以，, 2分所以 4分. 5分（) 6分， 8分因为，所以， 10分所以， 11分 所以的值域是. 13分考点二：三角函数的图象和性质3。函数部分图象如图所示（)求的最小正周期及解析式；（）设，求函数在区间上的最大值和最小值解:（）由图可得，所以 2分所以 当时，可得 ，因为，所以 5分所以的解析式为 6分（) 10分因为，所以当，即时,有最大值，最大值为；当，即时，有最小值，最小值为13分相邻平衡点（最值点）横坐标的差等； ； ；-代点法考点三、四、五：同角三角函数的关系、 诱导公式、三
4、角恒等变换4（2010年海淀期中文16）已知函数.（1）若，求的值；（2）求函数的单调增区间。（3）求函数的对称轴方程和对称中心解：(1） 。.3分（只写对一个公式给2分） 。.。5分 由，可得 。.。.7分所以 .。.。8分 .。.。.9分（2）当，换元法 .。11 分即时，单调递增。所以，函数的单调增区间是 。. 13分5.已知函数（),相邻两条对称轴之间的距离等于 (）求的值； （）当 时，求函数的最大值和最小值及相应的x值解：(） 意义 4分因为 ，所以 ， 6分所以 所以 7分(）当 时, ， 无范围讨论扣分所以 当，即时，, 10分当，即时， 13分6、已知函数 。 （)求函数的最
5、小正周期及函数的单调递增区间;（）若，求的值。解: 1分 2分 。 和差角公式逆用 3分（）函数的最小正周期. 5分令, 6分所以。 即。所以,函数的单调递增区间为 . 8分（）解法一：由已知得, 9分两边平方,得 同角关系式 所以 11分因为，所以。所以. 13分解法二：因为，所以。 9分又因为，得 . 10分所以。 11分所以， . 诱导公式的运用7、（本小题共13分）已知,（）求的值; ()求函数的值域解:（）因为，且，所以，角的变换因为 所以 6分 （）由（)可得 所以此结构转化为二次函数值域问题 ， 因为，所以,当时,取最大值； 当时，取最小值 所以函数的值域为 考点六：解三角形8已
6、知中,。(）求角的大小；20070316（）设向量，求当取最小值时， 值.解:(）因为， 和差角公式逆用所以. 3分因为，所以.所以。 5分因为，所以。 7分(）因为， 8分所以。 10分所以当时，取得最小值。此时（）,于是. 同角关系或三角函数定义12分所以. 13分9已知函数（）求的值；（）若，求的最大值；（）在中，若，求的值解:（） 4分 (） 6分 , 当时，即时,的最大值为8分（），若是三角形的内角，则， 令，得 ，此处两解解得或 10分由已知，是的内角，且,， 11分 又由正弦定理，得 13分10、在中,角，,的对边分别为，,分，且满足（)求角的大小；（）若，求面积的最大值解：（）
7、因为， 所以 由正弦定理，得边化角 整理得 所以 在中, 所以， ()由余弦定理， 所以 均值定理在三角中的应用 所以,当且仅当时取“= 取等条件别忘 所以三角形的面积 所以三角形面积的最大值为 13分11、在ABC中，a，b,c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc（）求角A的大小；（）设函数,当取最大值时，判断ABC的形状解:(）在ABC中，因为b2+c2a2=bc,由余弦定理 a2= b2+c22bccosA 可得cosA=(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) 3分 0A ， (或写成A是三角形内角) 4分 5分（） 7分， 9分 （没讨论,扣1分）10分当,即时，有最
8、大值是 11分又, ABC为等边三角形 13分12、在中,内角A、B、C所对的边分别为,已知，且。(）求； ()求的面积.解：(I）因为，,， 1分 代入得到， . 3分因为 , 4分 所以。 角关系 5分（II）因为，由（I）结论可得: 。 7分因为，所以 。 8分所以. 9分由得， 11分所以的面积为：。 13分13、在中，角，所对应的边分别为，且（）求角的大小；(）求的最大值解：（) 、为三角形的内角, , 三角形中角的大小关系 2分 即 4分 又 , 7分（）由(）得 角度变换 10分 ， 当，即 时，取得最大值为13分优秀模拟试卷分类汇编 （三角函数)1。在ABC中,角A、B、C所对
9、的边分别为a、b、c,已知，（I)求c及ABC的面积S （II)求2.在中，A、B、C为三角形的三个内角，且满足条件,.（）求的值； （)若，求的面积.3. 设函数，当时，函数的最大值与最小值的和为（I)求函数的最小正周期及单调递减区间；（II）作出在上的图象(不要求书写作图过程）4。2009年11月30时3时许,位于哈尔滨市南岗区东大直街323号的大世界商城发生火灾，为扑灭某着火点,现场安排了两支水枪，如图，D是着火点,A,B分别是水枪位置，已知米，在A处看到着火点的仰角为60，求两支水枪的喷射距离至少是多少？5。在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（I）求的值; （II)若的最大值。6. 已知向量
