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1、第五讲函数与方程及函数的应用高考考点考点解读函数的零点1.利用零点存在性定理或数形结合法确定函数的零点个数或其存在范围，以及应用零点求参数的值(范围)2常以高次式、分式、指数式、对数式、三角式结构的函数为载体考查函数与方程的综合应用1.确定高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结构方程解的个数或由其个数求参数的值(范围)2常与函数的图象与性质的应用交汇命题函数的实际应用1.常涉及物价、投入、产出、路径、工程、环保等国计民生的实际问题，常以面积、体积、利润等最优化问题出现2常与函数的最值、不等式、导数的应用综合命题.备考策略本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)加强对函数零点的理解
2、，掌握函数的零点与方程根的关系(2)掌握研究函数零点、方程解的问题的方法(3)熟练掌握应用函数模型解决实际问题的一般程序预测2020年命题热点为：(1)函数的零点、方程的根和两函数图象交点之间的等价转化问题(2)将实际背景常规化，最后归为二次函数、高次式、分式及分段函数或指数式、对数式函数为目标函数的应用问题Z 1几种常见的函数模型(1)一次函数模型：yaxb(a0)(2)二次函数模型：yax2bxc(a0)(3)指数函数模型：yabxc(b0且b1)(4)对数函数模型：yblogaxc(a0且a1)(5)分段函数模型：f(x)(A1A2)2函数的零点(1)函数的零点及函数的零点与方程根的关系
3、对于函数f(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数f(x)的零点，函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标.(2)零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的一个根3思想与方法(1)数学方法：图象法、分离参数法、最值的求法(2)数学思想：数形结合、转化与化归、函数与方程Y 1忽略概念函数的零点不是一个“点”，而是函数图象与x轴交点的横坐标2不能准确应用零点
4、存在性定理函数零点存在性定理是说满足某条件时函数存在零点，但存在零点时不一定满足该条件即函数yf(x)在(a，b)内存在零点，不一定有f(a)f(b)0.1(2018全国卷，9)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( C )A1,0)B0，)C1，) D1，)解析 令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)图象的示意图，如图所示若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象，可知当直线yxa过点(0,1)时，有2个交点，此时10a，a1.当yxa在yx1上方，即a1时
5、，有2个交点，符合题意综上，a的取值范围为1，)故选C2(2017全国卷，11)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a( C )A BC D1解析方法一：f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令tx1，则g(t)f(t1)t2a(etet)1.g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函数g(t)为偶函数f(x)有唯一零点，g(t)也有唯一零点又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)0，2a10，解得a.故选C方法二：f(x)0a(ex1ex1)x22x.ex1ex122，当且仅当x1时取“”x22x(x1)211，当且仅当x1时取“”若a0
6、，则a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a1，即a.若a0，则f(x)的零点不唯一故选C3(2017北京卷，8)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是( D )(参考数据：lg 30.48)A1033 B1053C1073 D1093解析由题意，lglglg 3361lg 1080361 lg 380lg 103610.4880193.28.又lg 103333，lg 105353，lg 107373，lg 109393，故与最接近的是1093.故选D4(2016四川卷，5)某公司为激励
7、创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( B )(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A2018年 B2019年C2020年 D2021年解析设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(112%)x200，解得xlog1.123.80，因资金需超过200万，则x取4，即2019年故选B5(文)(2018天津卷，14)已知aR，函数f(x)若对任意x3，)，f(x)|x|恒成立，则a的取值范围是.解
8、析 如图所示，若对任意x3，)，要使函数yf(x)的图象在y|x|图象的下方，则必有且在(0，)内直线yx与yx22x2a相切或相离，所以xx22x2a有两个相等实根或无实根，即对于方程x2x2a0，(1)242a0，解得a.由得96a23且a20，所以a2.综上，a2.(理)(2018天津卷，14)已知a0，函数f(x)若关于x的方程f(x)ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是(4,8).解析作出函数f(x)的示意图，如图l1是过原点且与抛物线yx22ax2a相切的直线，l2是过原点且与抛物线yx22axa相切的直线由图可知，当直线yax在l1，l2之间(不含直线l1，l2)变动时，符
9、合题意由消去y，整理得x2ax2a0.由0，得a8(a0舍去)由消去y，整理得x2axa0.由0，得a4(a0舍去)综上，得4a8.6(2018浙江卷，15)已知R，函数f(x)当2时，不等式f(x)0的解集是(1,4).若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是(1,3(4，).解析(1)当2时，f(x)其图象如图(1)由图知f(x)1,0b1,0b1，f(x)axxb，所以f(1)1b0，所以f(1)f(0)0，则由零点存在性定理可知f(x)在区间(1,0)上存在零点(2)(2018大连一模)设函数f(x)的定义域为R，f(x)f(x)，f(x)f(2x)，当x0,1时，f(x)x3，则函
10、数g(x)|cosx|f(x)在区间，上零点的个数为( C )A3 B4C5 D6解析由f(x)f(x)，得f(x)的图象关于y轴对称由f(x)f(2x)，得f(x)的图象关于直线x1对称当x0,1时，f(x)x3，所以f(x)在1,2上的图象如图令g(x)|cosx|f(x)0，得|cosx|f(x)，两函数yf(x)与y|cosx|的图象在，上的交点有5个(3)已知在(0,2上的函数f(x)且g(x)f(x)mx在区间(0,2内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是( A )A(，2(0， B(，2(0，C(，2(0， D(，2(0，解析由函数g(x)f(x)mx在(0,2内有且仅有
11、两个不同的零点，得yf(x)，ymx在(0,2内的图象有且仅有两个不同的交点当ymx与y3在x(0,1相切时，mx23x10，94m0，m，结合图象可得当m2或0m时，函数g(x)f(x)mx在(0,2内有且仅有两个不同的零点规律总结1判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f(x)0，则方程解的个数即为零点的个数(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a，b上是连续的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点(3)数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点
12、的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点2利用函数零点求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解G 若将本例(2)条件变为“f(x)f(x)，且f(x1)f(x1)，当x0,1时，f(x)ln(x2x1)”则函数f(x)在区间0,4上有几个零点？解析因为f(x1)f(x1)，所以f(x)f(x2)，所以f(x)是周期为2的周期函数又因为当x0,1时，f(x)ln(x2x1)，所以f(x)在(0，)上单调递减，在(，1)上单调递增又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0，f(1)0，利用数形结合思想，可知函数f(x)在区间0,4上有5个零点 例2 (1)(2018烟台二模)已知x表示不超过x的最大整数，当xR时，称yx为取整函数，例如1.61，3.34，若f(x)x，g(x)的图象关于y轴对称，且当x0时，g(x)x22x，则方程f(f(x)g(x)解的个数为( D )A1B2C3 D
