《基本不等式1地代换.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《基本不等式1地代换.docx（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、基本不等式之1地代换适用标准专题：均值不等式应用中“1 的代换”不等式是高中数学的重要内容之一，利用均值不等式求最值以及证明不等式是重中之重.纵观近几年全国各省的高考题与比赛题，能够发现均值不等式中与 “1 ”相关的试题屡次出现，勤学教育老师对此总结以下，以供大家参照 .【题引】【安徽省皖江名校2016 届高三 12 月联考数学（理）试题】x2 y20已知实数 x, y 知足 xy20 ，若目标函数 zax by 5(a 0,b 0) 的最小值为 2，2xy20则 23 的最小值为（）abA.8 2 14B.426C.9 2 15D.10 4 63333【答案】 D【分析】第一作出可行域，以下
2、列图所示，4yx+y-2=0 2x-2y-2=015-3-2-1O123x510152 - +2=0-1x y2= +-5A(-2,-2)z axby4把目标函数 z6ax by5(a0,b0) ，变形可得 ya xz 5 ，斜率为负数，当 z 取bb b得最小值时，联立求出交点 A 的坐标 2x y20A( 2,2) ，当目标函数 z axby 5(a 0, b0)x2y20过点 A 时取最小值，代入得 a b3 ，即 2 (ab)123所以 2 3 2 (ab)( 23)2 (52b3a )1046 ，当且仅当 3a2b 时， 23 取a b 3a b3ab3a b文档适用标准最小值，应选
3、 D 【考点】线性规划；基本不等式之1的代换.【评论】这道题目除了考察线性规划外，还考察了常数的代换，或称为“1 的代换”，更详细的说，其与一般代换仍是不一样的，它更像是在所求的式子后边乘以一个 1，或许是一个常数，所以，我们把此类解题技巧定义为“1 的代换” .【使用情形】使用“ 1 的代换”解题的结构特点：都可转变为条件求最值问题，且已知是“和式”，所求也是“和式”，同时要求两和式是一整式，一分式（或化为分式）；已知“和式”可变为常数“1”；两个“和式”都是齐次式或可变为齐次式。切合上述特点的题目，经过“1”的代换轻松解决问题。【题型概括】题型 1直接使用“ 1 的代换”22题目 1 ：已
4、知 1， (x0 ，y0) ，则 xy 的最小值为xyA1B2C4D8【答案】 D【分析】x0，y0 ，22xy(xy) xy文档适用标准xyx yxy 42448.当且仅当y ，即 xy4 时取等号yxy xx应选 D11题目 2 ：设 a0，b0.若 ab1，则 的最小值是 ()ab1A2B. C4 D8 4【答案】 D1 1ababb abab【分析】由题意2 22a 4 ，当且仅当aababa bba1 ，即 ab 时，取等号，所以最小值为4.b2应选 D变式 1 ：若正数 x，y 知足 x3y5 xy，则 3x4y 的最小值是（）2428A.B.C5D6553y5xy13审题：因为已
5、知可变为1，切合“ 1”的代换法解题指针。x5 y5x解：文档适用标准变式 2：在 4（ ）+9 （ ）60的2个（）中，分别填入 2 个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填和。审题：设所填 2 数分别为 x、y，则已知条件可变为4x+9 y1，切合“ 1 ”的代60换法解题指针。解：题型 2结构的“ 1 的代换”此类题目没有直接给出和式条件，所以需要从条件中找出和式条件，既而使用“ 1的代换”进行求值 .题目 3：设 a0,b 0. 若3是 3a 与3b的等比中项，则11 的最小值为 （）abA 1B1C 4D84【答案】 C【分析】试题剖析：由等比中项得3a g3b23a b131111a
6、 b 2ab2 2 14，当且仅当 ab 时等号建立，ababbaba所以最小值为 4，应选 C考点：均值不等式求最值文档适用标准题目4 ：已知正项等比数列知足：a7a62a5 ，若存在两项am , an 使得am an4a1 ，则 14 的最小值为 ()mnA. 3B.5C. 25D. 不存在236【答案】 A【分析】因为，所以，即，解得。若存在两项，有，即，即，所以，即。所以，当且仅当即取等号，此时，所以时取最小值，所以最小值为，选 A.【评论】上边两道题目是对于求最值的题目，且是二元式子的最值，此类题目我们要做的是第一找两变量之间的关系 .变式3 ：设 O 为坐标原点，第一象限内的点M
7、(x, y) 的坐标知足拘束条件2xy60uuuruuuur uuur40 ，则51， ON (a,b) (a0,b 0) ，若OM ON的最大值为的最小xy20gab值为（）（A） 25（B） 9（C）1（D）464【答案】 B审题：找出和式条件解：文档适用标准变式4 ： 函数 y log a ( x3) 1( a1, a 0) 的图 象恒 过定点 A , 若点 A 在 直线mx ny1 0 上,此中 m 0,n0,则 12 的最小值为mn【答案】 8解：变式 5：已知 a b0 ，且 a b2 ，则21的最小值为a3bab【答案】 3 224解：题型 3隐蔽“ 1”此类题目条件中没有给出含“ 1”的等式，没法直接使用“ 1 的代换”法求解，但察看题目，发现其分母之和为常数，故可结构出“ 1 ”的等式，即可使用 “1 的代换”法求解 .题目 5：已知 0x 1， a0 ， ba2b20 ，求 y1 xx的最小值 .文档适用标准【答案】 (ab)2【分析】试题剖析：ya2b2a2b2 x(1x)x1xx1xa2b2a2 (1 x) b2 xa2b2a2 (1 x) b2 xa222ab (a b)2x1x2gbx1 x当且仅当 a2 (1 x)b2 x ，即 xa时等号建立x1xab故 ymin (a b)2【评论】此题条件中没有给出含有1 的等式，没法直接使用“1 的代换
