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1、2010年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷C（小学组）一、填空题（每小题10分，共80分）1在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的个数不能少于11，不能是17，也不能是6的倍数，并且彼此不同，那么至少需要 个乒乓球2有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品，以及五种价格分别为3元、5元、7元、9元、11元的包装盒一个礼品配一个包装盒，共有 种不同的价格3汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇已知A、B、C的速度分别是每小时90km，80km，60km，那么甲乙两站的路程是 km4以100为分母的所有最
2、简真分数的和等于 5一个自然数可以表示为两个连续的非零自然数之和，还可以表示为三个连续的非零自然数之和，就称这个自然数为“好数”，那么不大于2011的自然数中最大的“好数”为 6在一条3000m长的新公路的一侧，从一端开始等距离立电线杆，按原设计，电线杆间隔50m，已挖好了坑若间隔距离改为60m，则需要重新挖 个坑，有 个原来挖好的坑将废弃不用7数字卡片“3”、“4”、“5”各10张，从中任意选出8张，使它们的数字和是27，则最多有 张是卡片“3”8若将算式+的值化为小数，则小数点后第1个数字是 二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9如图中有5个由4个11的小正方格组成的
3、不同形状的硬纸板问能用这5个硬纸板拼成右图中45的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由10足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1 分若A，B，C，D四支球队的总分分别是1，4，7，8，请问：E 队至多得几分？至少得几分？11甲、乙两人轮流从1，2，3，100，101这101个自然数中每次划掉9 个数，经过11次后，还剩下两个数如果甲第一个划数，请问甲是否有方法使得最后剩下的两个数之差是55？并说明理由12华罗庚爷爷出生于1910年11月12日将这些数字排成一个整数，并且分解成19101112116316424，请问
4、这两个数1163和16424中有质数吗？并说明理由三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13（15分）图中，直角三角形ABC 的两条直角边AB 和BC 的长度分别为3和4，将三角形ABC绕点C顺时针旋转至A1B1C，使得A1C与B1C在直线l上A1A交B1C于D，求14（15分）已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数2010年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷C（小学组）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的个数不能少于11，不能是17，也不能是6的倍数，并且彼此不同，那么至少
5、需要174 个乒乓球【分析】从11开始找出不是17，也不是6的倍数的10个数，然后相加即可【解答】解：符合条件的最小的10个数是：11，13，14，15，16，19，20，21，22，23；所以至少需要11+13+14+15+16+19+20+21+22+23174（个）答：至少需要 174 个乒乓球故答案为：1742有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品，以及五种价格分别为3元、5元、7元、9元、11元的包装盒一个礼品配一个包装盒，共有19种不同的价格【分析】根据已知的价格用“列表方法”解答即可【解答】解：共有25619（种）包 装 盒 价 格礼品盒价格13579235791
6、15681012148911131517111214161820141517192123故答案为：193汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇已知A、B、C的速度分别是每小时90km，80km，60km，那么甲乙两站的路程是425km【分析】根据题意，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇，由此可以求出A与C20分钟（小时）共行：（90+60）50千米，这50千米即是A与B相遇过程中，在相同时间内，B比C多行的路程，显然A与B相遇时间等于50（8060）2.5小时，然后根据速度和相遇时间两地之间的路程，列式解答【解答】解：20分钟
7、小时，A与C 20分钟相遇，共行（90+60）50（ 千米），这50 千米即是A与B相遇过程中，在相同时间内，B比C多行的路程，显然A与B相遇时间等于50（8060）2.5（小时）所以，A与B相遇甲乙两站的路程为（90+80）2.5425（ 千米）答：甲乙两站的路程是425千米故答案为：4254以100为分母的所有最简真分数的和等于20【分析】设以100为分母的最简真分数为，且1p99因为是最简分数，所以p和100不能有大于1的公因数，即p不能有因数2和5然后分类讨论：以2为因数小于100的数（偶数）之和；以5为因数小于100的数之和；以10为因数小于100的数之和进而得出小于100且不以2或
8、5为因数的数之和，进一步解决问题【解答】解：设以100为分母的最简真分数为，且1p99因为是最简分数，所以p和100不能有大于1的公因数，即p不能有因数2和5以2为因数小于100的数（偶数）之和为：2+4+6+96+9849502450以5为因数小于100的数之和为：5+10+15+90+951920950以10为因数小于100的数之和为：10+20+30+90910450小于100且以2或5为因数的数之和为：2450+9504502950所以以100为分母的所有最简真分数的和等于：（+）29.520故答案为：205一个自然数可以表示为两个连续的非零自然数之和，还可以表示为三个连续的非零自然数
9、之和，就称这个自然数为“好数”，那么不大于2011的自然数中最大的“好数”为2007【分析】根据题意，可把“好数”表示为m，m+1两个非零自然数的和，也可以表示为n，n+1，n+2个非零自然数的和因此，可列出一个等式2m+13n+3，得出n的取值范围，进而解决问题【解答】解：把“好数”表示为m，m+1两个非零自然数的和，也可以表示为n，n+1，n+2个非零自然数的和所以2m+13n+3，即mn+1，所以2|n因为3n+32011，所以n669，因为2|n，所以n的最大值为668，此时3n+32007不大于2011的自然数中最大的“好数”为2007故答案为：20076在一条3000m长的新公路的
10、一侧，从一端开始等距离立电线杆，按原设计，电线杆间隔50m，已挖好了坑若间隔距离改为60m，则需要重新挖40个坑，有50个原来挖好的坑将废弃不用【分析】由题意知，先分别求出原来挖好坑的个数及现在要挖的个数，再求得重叠的坑有多少个，用现需挖的个数减去重叠要保留的个数即得还要挖的个数，用原来挖好的个数减去重叠要保留的个数即得废弃不用的个数；据此解答【解答】解：原来挖好的坑有：300050+161（个），现在需要挖：300060+151（个），50与60的最小公倍数是300，即每隔300米处的坑应该保留，共有：3000300+111（个），还需要挖：511140（个），原来挖好的坑将废弃不用的有：6
11、11150（个），答：则需要重新挖40个坑，有50个原来挖好的坑将废弃不用故答案为：40，507数字卡片“3”、“4”、“5”各10张，从中任意选出8张，使它们的数字和是27，则最多有6张是卡片“3”【分析】假设摸出的8 张卡片全是数字“3”，则其和为3824，与实际的和27 相差3，这是因为将摸出的卡片“4”、“5”都当成是卡片“3”的缘故用一张卡片“5”和“4”换一张卡片“3”，数字和可分别增加2 和1为了使卡片“3”尽可能地多，应该多用卡片“5”换卡片“3”，然后多用卡片“4”换卡片“3”，现在32+1，因此可用1 张卡片“5”换卡片“3”，1张卡片“4”换卡片“3”这样8 张卡片的数字
12、之和正好等于27所以最多可能有6 张是卡片“3”【解答】解：假设摸出的8 张卡片全是数字“3”，则其和为3824，27243，这是因为将摸出的卡片“4”、“5”都当成是卡片“3”的缘故532，431，所以为了使卡片“3”尽可能地多，应用一张卡片“5”换卡片“3”，一张卡片“4”换卡片“3”，这样8 张卡片的数字之和正好等于27所以最多可能有6张是卡片“3”故答案为：68若将算式+的值化为小数，则小数点后第1个数字是4【分析】根据分数数列运算符号的加减周期性，将分数数列分组求近似值，进行估算【解答】解：0.410.015480.000.001330.00063推理后面每两个分数之差更接近0，而且
13、是有限个求和，所以小数点后第一位为4故答案为：4二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9如图中有5个由4个11的小正方格组成的不同形状的硬纸板问能用这5个硬纸板拼成右图中45的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由【分析】先将45的长方形黑白间隔染色，然后再将5个由4个11的小正方格黑白间隔染色，然后结合奇偶性判断即可【解答】解：将五块纸板编号，如图2，除纸板之外，其余4张硬纸板每一张都盖住2个黑格，而盖住了3个或1个黑格，因此，由4个11的小正方格组成的不同形状的5个硬纸板，只能盖住9或11个黑格，与10个黑格不符所以显然不能用左边5个硬纸板拼成右边的45
14、的长方形10足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1 分若A，B，C，D四支球队的总分分别是1，4，7，8，请问：E 队至多得几分？至少得几分？【分析】足球队单循环比赛共赛4+3+2+110场从计分标准看，有胜负的场次得3分，平局的场次共得2分，题意中的问题是E队最多得分和最少得分，显然和整个比赛中平局的次数有关，平局越少，E队得分会越高；平局越多，E队得分会越低假设全是3分，10场共计30分，每平局总分倒减1分由A、B、C、D的得分不难分析【解答】解：由题意得：A11+0+0+0B43+1+0+01+1+1+1C73+3+1+0D83+3+1+1从得分看至少3局平局，全部比赛总分30327（分），E队得分最多为2714787（分）从得分看最多5场平局，全部比赛总分30525（分），E队得分最少为2514785（分）答：E队至多得7分，至少得5分11甲、乙两人轮流从1，2，3，100，101这101个自然数中每次划掉9 个数，经过11次后，还剩下两个数如
