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1、初三培优 易错 难题二次函数辅导专题训练含答案解析一、二次函数1已知，点M为二次函数y（xb）2+4b+1图象的顶点，直线ymx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B（1）判断顶点M是否在直线y4x+1上，并说明理由（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5（xb）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小【答案】（1）点M在直线y4x+1上；理由见解析；（2）x的取值范围是x0或x5；（3）当0b时，y1y2，当b时，y1y2，当b时，y1y2【解析】【分析】（
2、1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案【详解】（1）点M为二次函数y（xb）2+4b+1图象的顶点，M的坐标是（b，4b+1），把xb代入y4x+1，得y4b+1，点M在直线y4x+1上；（2）如图1，直线ymx+5交y轴于点B，B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，5（0b）2+4b+15，解得b2，二次函数的解析是为y（x2）2+9，当y0时，（x2）2+90，解得x15，x2
3、1，A（5，0）由图象，得当mx+5（xb）2+4b+1时，x的取值范围是x0或x5；（3）如图2，直线y4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，A（5，0），B（0，5）得直线AB的解析式为yx+5，联立EF，AB得方程组，解得，点E（，），F（0，1）点M在AOB内，14b+1，0b当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，bb，b，且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y4x+1上，综上：当0b时，y1y2，当b时，y1y2，当b时，y1y2【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关
4、键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a0时，点与对称轴的距离越小函数值越大2如图，已知A（2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx1过A、B两点，并与过A点的直线y=x1交于点C（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线解析式为：y=，抛物线对称轴为直线x=1；（2）
5、存在P点坐标为（1，）；（3）N点坐标为（4，3）或（2，1）【解析】分析：（1）由待定系数法求解即可；（2）将四边形周长最小转化为PC+PO最小即可；（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形设出点N坐标，表示点M坐标代入抛物线解析式即可详解：（1）把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得 解得 抛物线解析式为：y=x2x1抛物线对称轴为直线x=-1（2）存在使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C（2，-1），连CO与直线x=1的交点即为P点设过点C、O直线解析式为：y=kxk=-y=-x则P点坐标为（1，-）（
6、3）当AOCMNC时，如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NEy轴于点EACO=NCD，AOC=CND=90CDN=CAO由相似，CAO=CMNCDN=CMNMNACM、D关于AN对称，则N为DM中点设点N坐标为（a，-a-1）由EDNOACED=2a点D坐标为（0，-a1）N为DM中点点M坐标为（2a，a1）把M代入y=x2x1，解得a=4则N点坐标为（4，-3）当AOCCNM时，CAO=NCMCMAB则点C关于直线x=1的对称点C即为点N由（2）N（2，-1）N点坐标为（4，-3）或（2，-1）点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似解答时，应
7、用了数形结合和分类讨论的数学思想3（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为m. （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=x2+2x+4，拱顶D到地
8、面OA的距离为10 m；(2)两排灯的水平距离最小是4 m【解析】【详解】试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值试题解析：（1）由题知点在抛物线上所以，解得，所以所以，当时，答：，拱顶D到地面OA的距离为10米（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）当x=2或x=10时，所以可以通
9、过（3）令，即，可得，解得答：两排灯的水平距离最小是考点：二次函数的实际应用4一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是的形式.请根据所给的数据求出a，c的值.(2)求支柱MN的长度.(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.【答案】（1）y=-x2+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车【解析】试题分析：（1）根据题目可知AB，C的坐标，设出抛物线的解析
10、式代入可求解（2）设N点的坐标为（5，yN）可求出支柱MN的长度（3）设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和做GH垂直AB交抛物线于H则可求解试题解析： (1) 根据题目条件，A、B、C的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).将B、C的坐标代入，得 解得.抛物线的表达式是.(2) 可设N(5,)，于是.从而支柱MN的长度是10-4.5=5.5米.(3) 设DE是隔离带的宽，EG是三辆车的宽度和，则G点坐标是(7,0)(7=2223).过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则.根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.5如图，在平面直角坐标系中有抛物线ya（x2）22
11、和ya（xh）2，抛物线ya（x2）22经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B；点P是抛物线ya（x2）22上一动点，且点P在x轴下方，过点P作x轴的垂线交抛物线ya（xh）2于点D，过点D作PD的垂线交抛物线ya（xh）2于点D（不与点D重合），连接PD，设点P的横坐标为m：（1）直接写出a的值；直接写出抛物线ya（x2）22的函数表达式的一般式；（2）当抛物线ya（xh）2经过原点时，设PDD与OAB重叠部分图形周长为L：求的值；直接写出L与m之间的函数关系式；（3）当h为何值时，存在点P，使以点O、A、D、D为顶点的四边形是菱形？直接写出h的值【答案】（1）；y2x；（2）1
12、；L；（3）h【解析】【分析】（1）将x0，y0代入ya（x2）22中计算即可；y2x；（2）将（0，0）代入ya（xh）2中，可求得a，yx2，待定系数法求OB、AB的解析式，由点P的横坐标为m，即可表示出相应线段求解；（3）以点O、A、D、D为顶点的四边形是菱形，DDOA，可知点D的纵坐标为2，再由ADOA4即可求出h的值【详解】解：（1）将x0，y0代入ya（x2）22中，得：0a（02）22，解得：a；y2x；（2）抛物线ya（xh）2经过原点，a；yx2，A（4，0），B（2，2），易得：直线OB解析式为：yx，直线AB解析式为：yx4如图1，如图1，当0m2时，LOE+EF+OF，
13、当2m4时，如图2，设PD交x轴于G，交AB于H，PD交x轴于E，交AB于F，则，DDEG，即：EGPDPEDD，得：EG（2m）（2mm2）2mEG2mm2，EF4mLEG+EF+FH+GHEG+EF+PG；（3）如图3，OADD为菱形ADAODD4，PD2，【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法6如图所示，已知平面直角坐标系xOy，抛物线过点A(4,0)、B(1,3)(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线
14、l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.【答案】(1)y=-，对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）(2)m、n的值分别为 5，-5【解析】（1） 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入yx2bxc，得：4b+c-16=0，b+c-1=3 ，解得：b=4 ， c=0所以抛物线的表达式为：y=-，所以 抛物线的对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）（2） 由题可知，E、F点坐标分别为（4-m，n），（m-4，n）三角形POF的面积为：1/24|n|= 2|n|，三角形AOP的面积为：1/24|n|= 2|n|，四边形OAPF的面积= 三角形POF的面积+三角形AOP的面积=20，所以 4|n|=20， n=-5（因为点P(m,n)在第四象限，
