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1、坐标平面上的直线的知识点及拓展第 1 部分：基础知识直线方程方向向量 d法向量 n斜率 k点方向式方程x x0 y y0 u 0,v 0 uvu,vv, uv u点法向式方程a x x0 b y y0 0b,aa,bab0b点斜式方程y y 0 k x x0 k 存在1,kk, 1k一般式方程ax by c 0 a， b 不全为 0b,aa,bab0b1、已知直线 l1： a1x b1y c1 0 ；直线 l2： a2x b2 y c2 0a1x b1 y c1 01)如何判定两条直线位置关系？判定方程组 1 1 1 解的情况a2x b2 y c2 02) l1/l2a1b2 a2b1， a1
2、c2 a2c1或b1c2 b2c13)求 l1 与 l2 的夹角 的公式：cosa1a2 b1b2 a12 b12a22 b22角 的范围：4) l1 l2a1a2 b1b2 02、已知直线 l：ax by c 0，点P x0,y0 是直线l外一点，则点 P到直线 l的距离公式 d ax0 by0 c； a 2 b23、已知直线l1：axbyc10；直线l2：axbyc20，则l1/或重合l 2 ，且l 1与l 2之间的距离公式为 d c1 c2第 2 部分：拓展知识1直线方程的应用例1 已知等腰直角 ABC的斜边 AB所在的直线为 3x y 5 0 ，直角顶点为 C(4, 1) ，求两条直角
3、边所在的直线方程。 2x y 7 0或 x 2y 6 0分析：作出示意草图，知两条直角边所在的直线的斜率存在，并且与斜边 AB 所在直线的夹角为 。4例 2 求过点 (0, 1) ，且被两条平行直线2x y 6 0和4x 2y 5 0截得长为 7的线段的直线 l 的方2程。 3x 4y 4 0 或 x 0分析：作出示意草图，由两平行线之间的距离d 7 7 知，2 5 2问题应有两解例 3 已知直线 l 经过点 P( 2,3) ，依下列条件求直线 l 的方程。(1)直线 l 在两坐标轴上的截距的绝对值相等； 3x 2y 0或 x y 1 0或 x y 5 0(2)直线 l 在 x轴、 y轴上解得
4、的线段分别为 OA、OB且 |OA| |OB|。 3x 2y 0或 x y 1 0 例 4 在正方形 ABCO中， O坐标原点，向量 OA (3,4) ，求正方形 ABCO各边所在的直线方程。OA 4x 3y 0； OC：3x 4y 0； CB：4x 3y 25 0； AB 3x 4y 25 0。2直线的倾斜角和斜率3例 5 直线 y xsin 3 的倾斜角的范围是 0, , )44例6 已知直线 l方程为 ax by c 0，若ac 0，bc 0 ，则此直线 l不经过( A)第一象限；( B )第二象限； ( C )第三象限； ( D )第四象限。 B。例7已知直线 l经过 P(0,0) 和
5、Q(cos ,sin ) ( ( .0)两点，求直线 l 的斜率和倾斜角。2例 8 研究直线 l 的斜率 k (k 0) 的几何意义。例9已知直线 l： y kx 1与两点 A( 1,5) 、 B(4, 2) ，若直线 l与线段 AB相交，求直线 l的斜率 k和 33倾斜角 的取值范围。 k ( , 4 , ) ； 0, ) ( , arctan 4 arctan , ) 。4 2 2 43对称问题(1)中心对称： 设点 P(x0,y0)，点M(m,n)，由中点坐标公式可得，点 P关于M 点的对称点 P(x,y) 的坐标公式为： x 2m x0 ，即 P(2m x,2n y) 。y 2n y0
6、例 10 求直线 l1： 3x y 3 0关于点 M ( 5, 4) 的对称直线 l2的方程。 3x y 10 3 5 0。 例 11 已知直线 l经过点 P(0,1) ，若直线 l被直线 l1：x 3y 10 0和直线 l2： 2x y 8 0截得的线 段 AB的中点恰为点 P ，求直线 l 的方程。 x 4y 4 0 。2)轴对称： 已知直线 l ：ax by c 0( a 、 b不同时为零)和点 P(x0,y0)，则点 P关于直线 l 的对称点 P (x, y)的坐标计算公式为：2a(ax0 by0 c)x02 2a2 b22b(ax0 by0 c)y02 2ab例 12 光线从点 A(
7、4,1) 射出，经 x 轴反射后再经 y 轴反射，最后到达点 B(1,6) ，求光线经过的路程。解：点 A(4,1)关于 x轴的对称点为 A(4, 1) ， B(1,6)关于 y轴的对称点为 B ( 1,6)。作出大致草图可知，光线经过的路程为线段 AB 的长，即 | AB | 4 ( 1)2 ( 1) 6274例 13 已知点 A(4,1)和直线 l：2x y 1 0，动点 P在直线 l 上运动。1)若点 B的坐标为 (1, 2) ，求 |PA| | PB |的最小值； (|PA| | PB |)min | AB | (47)2 (1 6)2342)若点 B的坐标为 ( 1, 2)，求 |P
8、A| | PB |的最大值。 (|PA| | PB |)max |BA| 4 ( 1)2 1 ( 12)2730例 14 ABC中顶点 A的坐标为 A(4,3) 。AC 边上的中线所在直线的方程为： 4x 13y 10 0， ABC 的平分线所在直线的方程为 x 2y 5 0。求 AC 边所在直线的方程x 8y 20 0。(3)几个特殊的对称：设直线 l 的方程为 f (x, y) 0 ，则()直线 l 关于直线 x a对称的直线方程为 l ： f (2a x,y) 0； ()直线l 关于直线yb对称的直线方程为 l ： f (x,2by)0 ；()直线l 关于直线yx对称的直线方程为 l1：
9、 f (y,x)0 ；()直线l 关于直线yx对称的直线方程为 l2： f ( y,x)0 ；()直线l 关于直线yx b对称的直线方程为 l3： f (yb,xb) 0；()直线 l 关于直线 y x b 对称的直线方程为 l4 ： f (b y,b x) 0 。例15 (1)直线 l1：2x y 1 0关于直线 l： x 2对称的直线 l2的方程是2x y 9 0(2)直线 l1：2x y 1 0关于直线 l： y x对称的直线 l2的方程是；x 2y 1 0(3)直线 l1：2x y 1 0关于直线 l： x y 1 0对称的直线 l2的方程是x 2y 4 0例 16 函数 y asin
10、 x bcosx 图像的一条对称轴方程是 x ，则直线 ax by c 0 的倾斜角为4( A)45 ；(B)135 ； (C)60 ； ( D)120B。4直线系例 17 两条平行直线之间的距离是 2 ，其中一条直线是 3x 4y 5 0 ，则另一条直线的方程是 。 3x 4y 5 0或 3x 4y 15 0例 18 对于直线 l 上任一点 P(x,y) ，点 Q(4x 2y,x 3y)仍在此直线上，则直线 l 的方程是x y 0或x 2y 0 例19 已知直线 l1和直线 l2的方程分别为 l1：f1(x,y) 0，l2： f2(x,y) 0，若直线 l1和直线 l2有交点P(x0, y0
11、) ，求证：直线 l： f1(x, y)f2(x,y) 0必过交点 P(x0,y0)。例 20 当 a 取不同实数时，直线 (a 1)x y 2a 1 0 恒过一定点，则这个定点是 ( 2,3)例 21 根据下列条件，写出直线的一般式方程：1)经过直线 l12x y 1 0与 l2： 2x 2y 1 0的交点且与直线l3 ： 5x y 0 垂直； 6x 30y 19 0( 2)经过直线 l1： x y 1 0与 l2 ： 2x y 2 0的交点且与直线 l3：3x 4y 12 0平行。 3x 4y 3 0 。 第 3 部分：基础训练1、已知 ABC中， BAC 90 ，点 B 、 C的坐标分别
12、为 4,2 ， 2,8 ，向量 d 3,2 且 d与 AC边平 行，求 ABC 的两条直角边所在直线的方程。 (分别用点方向式、点法向式、点斜式、一般式表示)lAC : 2x 3y 20 0；lAB :3x 2y 16 0 ；2、若直线的倾斜角满足 tan1，求 的取值范围； 0,434 ,3、讨论：直线 l1： m 2 x y m 0；直线 l2： 3x my m 6 0的位置关系；m 3且 m1时，相交； m 1时，平行； m 3时，重合；4、已知 ABC的三个顶点坐标分别为 A1,3 、B3,1 、C 1,0 ，求 SABC； 55、直线 l过点 P 2, 3 且与直线 l1：x 3y
13、2 0的夹角为 ，求直线 l 的方程； x 2 0或 x 3y 1 0 3第 4 部分：高考模拟1(黄浦 20XX年4月理科)直线l1：3x y 1 0，l2：x 5 0，则直线 l1与l 2的夹角为 = p62(上海十校 20XX年第二学期高三第二次联考理科 )平面上三条直线 x 2y 1 0,x 1 0,x ky 0 ， 如果这三条直线将平面划分为六部分 ，则实数 k 的取值集合为 0, 1, 2 3(闵行20XX届文科)经过点 A(1,0)且法向量为 d (2, 1)的直线 l的方程为 . 2x y 2 04、(徐汇 20XX年4月)已知直线 l经过点( 5,0) 且方向向量为 (2, 1) ，则原点 O到直线 l的距离为 1。5、(徐汇 20XX年 4月文科 )在平面直角坐标系 xOy中， O为坐标原点。定义 P(x1,y1)、Q(x2,y2)两点之 间的“直角距离”为 d(P,Q) x1 x2 y1 y2 。已知 B(1,0) ，点 M 为直线 x y 2 0上的动点， 则d(B,M )的最小值为 3 。
