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1、专题6直线与圆的位置关系题型一直线与圆的位置关系例 12017余杭区一模在平面直角坐标系xOy中，经过点(sin45，cos30)的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是(A)A相交 B相切C相离 D以上三者都有可能【解析】 如答图，设直线经过的点为A，例1答图点A的坐标为(sin45，cos30)，OA，圆的半径为2，OA2，点A在圆内，直线和圆一定相交变式跟进12017市北区二模O的半径r5 cm，直线l到圆心O的距离d4，则l与O的位置关系是(C)A相离 B相切 C相交 D重合【解析】 O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为4 cm，54，即dr，直线l与O的位置关系是相交2
2、2017阳谷一模已知等腰三角形的腰长为6 cm，底边长4 cm，以等腰三角形的顶角的顶点为圆心5 cm为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是(A)A相离 B相切C相交 D不能确定【解析】 如答图，在等腰三角形ABC中，作ADBC于D，则BDCDBC2，AD45，即dr，该圆与底边的位置关系是相离第2题答图题型二切线的性质例 22016天津在O中，AB为直径，C为O上一点(1)如图1，过点C作O的切线，与AB的延长线相交于点P，若CAB27，求P的大小；(2)如图，D为弧AC上一点，且OD经过AC的中点E，连结DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若CAB10，求P的大小图1解： (1)如答图，
3、连结OC，O与PC相切于点C，例2答图OCPC，即OCP90，CAB27，COB2CAB54，在RtCOP中，PCOP90，P90COP36；(2)E为AC的中点，ODAC，即AEO90，在RtAOE中，由EAO10，得AOE90EAO80，ACDAOD40，ACD是ACP的一个外角，PACDA401030.【点悟】已知切线，常常连结切点和圆心作半径变式跟进3已知BC是O的直径，AD是O的切线，切点为A，AD交CB的延长线于点D，连结AB，AO.(1)如图2，求证：OACDAB；(2)如图，ADAC，若E是O上一点，求E的大小图2解：(1)证明：AD是O的切线，切点为A，DAAO，DAO90，
4、DABBAO90，BC是O的直径，BAC90，BAOOAC90，OACDAB；(2)OAOC，OACC，ADAC，DC，OACD，OACDAB，DABD，ABCDDAB，ABC2D，DC，ABC2C，BAC90，ABCC90，2CC90，C30，EC30.题型三切线的判定例 3如图3，AB是O的直径，BCAB于点B，连结OC交O于点E，弦ADOC，弦DFAB于点G.(1)求证：点E是弧BD的中点；(2)求证：CD是O的切线 图3 例3答图证明：(1)如答图，连结OD，ADOC，1A，2ODA，OAOD，AODA，12，即点E是的中点；(2)在OCD和OCB中，OCDOCB，ODCOBC90，O
5、DCD，CD是O的切线【点悟】证某直线为圆的切线时，如果已知直线与圆有公共点，即可作出过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“作半径，证垂直”；如果不能确定某直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明它到圆心的距离等于半径，即“作垂直，证半径”在证明垂直时，常用到直径所对的圆周角是直角变式跟进4如图4，AB是O的直径，C，D为半圆O上的两点，CDAB，过点C作CEAD，交AD的延长线于点E，A60.(1)求证：CE是O的切线；(2)猜想四边形AOCD是什么特殊的四边形，并证明你的猜想 图4 第4题答图解：(1)证明：连结OD，如答图所示A60，OAOD，OAD是等边三角形，ADOAOD
6、60，CDAB，ODC60，OCOD，COD是等边三角形，COD60ADO，OCAE，CEAE，CEOC，CE是O的切线；(2)四边形AOCD是菱形证明：由(1)得OAD和COD是等边三角形，OAADCDOC，四边形AOCD是菱形题型四切线长定理及三角形的内切圆例 42017邹平模拟RtABC中，C90，AB5，内切圆半径为1，则三角形的周长为(B)A15 B12 C13 D14【解析】如答图，连结OA，OB，OC，OD，OE，OF，O是ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，ODAC，OEAB，OFBC，ADAE，BEBF，ODCOFCACB90，ODOF，四边形ODCF是正方形，CDODOF
7、CF1，ADAE，BFBE，且AEBEAB5，ADBF5，ABC的周长是ACBCABADCDCFBFAB511512.例4答图【点悟】(1)求证三角形内切圆的问题时，常用到面积法：SABC(abc)r，其中r为ABC的内切圆半径，a，b，c为ABC的三条边的长度；(2)已知直角三角形的三边长a，b，c(其中c为斜边)，则内切圆半径r；(3)解三角形与圆相切的问题时，常利用切线长定理及勾股定理等列方程(组)来求半径长变式跟进5在ABC中，ABC60，ACB50，如图5所示，I是ABC的内心，延长AI交ABC的外接圆于点D，则ICD的度数是(C)A50 B55 C60 D65图5【解析】 ABC中
8、，BAC180ACBABC180506070，又I是ABC的内心，BCDBADBAC35，BCIACB25，BCDBCI352560，即ICD60.6如图6，PA，PB是O的切线，A，B为切点，AC是O的直径，P60.(1)求BAC的度数；(2)当OA2时，求AB的长 图6 第6题答图解：(1)PA，PB是O的切线，APBP，P60，PAB60，PA是O的切线，PAC90，BAC906030；(2)如答图，连结OP，则在RtAOP中，OA2，APO30，OP4，由勾股定理得AP2，APBP，APB60，APB是等边三角形，ABAP2.过关训练1同学们玩过滚铁环吗？铁环的半径是30 cm，手柄长
9、40 cm.当手柄的一端勾在环上，另一端到铁环的圆心的距离为50 cm时，铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为(C)A相离 B相交C相切 D不能确定【解析】 根据题意画出图形，如答图所示第1题答图由已知得BC30 cm，AC40 cm，AB50 cm，BC2AC23024029001 6002 500，AB25022 500，BC2AC2AB2，ACB90，即ACBC，AC为圆B的切线，即此时铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为相切22017临沂模拟如图1，MBC中，B90，C60，MB2，点A在MB上，以AB为直径作O与MC相切于点D，则CD的长为(C)图1A. B.C2 D3【解析
10、】 在RtBCM中，tan60，得到BC2，AB为O的直径，且ABBC，BC为O的切线，又CD也为O的切线，CDBC2.32017西湖区校级二模如图2，用一把带有刻度的角尺：(1)可以画出两条平行的直线a与b，如图；(2)可以画出AOB的平分线OP，如图所示；(3)可以检验工件的凹面是否为半圆，如图所示；(4)可以量出一个圆的半径，如图所示这四种说法中正确的个数有(D)图2A1 B2 C3 D4【解析】 (1)根据平行线的判定：同位角相等，两直线平行，可知正确；(2)可以画出AOB的平分线OP，可知正确；(3)根据90的圆周角所对的弦是直径，可知正确；(4)此作法正确所以正确的有4个42017
11、金乡三模已知ACBC于C，BCa，CAb，ABc，下列选项中O半径为的是(A) AB C D【解析】B设AB切O于F，圆的半径是y，连结OF，则BCAOFA，得出，代入求出y；C.设AC，BC分别切O于E，D，连结OE，OD，得到OECODCC90，证出四边形OECD是正方形，设O的半径是r，证ODBAEO，得出，代入即可求出r；D.设O的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，切AB于F，同样得到正方形OECD，根据axcbx，求出x.52017溧水区一模如图3，在RtABC中，C90，B60，内切圆O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，则DEF的度数为_75_图3【解析】 如答图，连结
12、DO，FO，第5题答图在RtABC中，C90，B60，A30，内切圆O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，ODAOFA90，DOF150，DEF的度数为75.6如图4，在RtABC中，ACB90，以AC为直径的O与AB边交于点D，过点D作O的切线，交BC于E.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)当B_45_时，四边形ODEC是正方形 图4 第6题答图解：(1)证明：如答图，连结DO，ACB90，AC为直径，EC为O的切线又ED也为O的切线，ECED，又EDO90，BDEADO90，BDEA90，又BA90，BDEB，EBED，EBEC，即点E是边BC的中点；(2)当B45时，四边形ODEC是正方形，ACB90，A45，OAOD，ADO45，AOD90，DOC90，ODE90，四边形ODEC是矩形，ODOC，矩形ODEC是正方形7如图5，O的直径AB6，ABC30，BC6，D是线段BC的中点(1)试判断点
