2021年切比雪夫不等式及其应用论文精选新编.DOC

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1、不问收获，但问耕耘，把最好的资料送给最好的自己！切比雪夫不等式及其应用论文姓名：XXX时间：20XX年X月X日切比雪夫不等式及其应用论文 目 录 第一章 绪论 1 第二章 切比雪夫不等式的基本理论 3 2.1 切比雪夫不等式的有限形式和积分形式 3 2.2 切比雪夫不等式的概率形式 4 第三章 切比雪夫不等式在概率论中的应用 7 3.1 估计概率 7 3.1.1 随机变量取值的离散程度 7 3.1.2 随机变量取值偏离超过的概率 7 3.1.3 估计事件的概率 7 3.1.4 估计随机变量落入有限区间的概率 8 3.2 求解或证明一些有关概率不等式 9 3.2.1 求解相关不等式 9 3.2.

2、2 证明相关不等式 10 3.3 证明大数定律 11 3.3.1 切比雪夫大数定律 11 3.3.2 伯努利大数定律 12 第四章 切比雪夫不等式在其他领域的应用 14 4.1 生活中的小概率事件 14 4.2 切比雪夫不等式在经济评价风险中的应用 15 4.2.1 的多元线性函数 15 4.2.2 的概率分析 16 4.2.3 应用 17 4.3 前向神经网络容错性分析的切比雪夫不等式法 20 4.3.1 前向神经网络的随机故障模型 20 4.3.2 连接故障对单个神经元容错性能的影响 21 参考文献 24 致谢 25 第一章 绪论 概率论是一门研究随机现象数量规律的科学，是近代数学的重要组

3、成部分。随机现象在自然界和人类生活中无处不在，因而大多数的应用研究，无论是在工业、农业、经济、军事和科学技术中，其本质都是现实过程中的大量随机作用的影响。这个观点强有力地推动了概率论的飞速发展，使其理论与方法被广泛地应用于各个行业。而概率论极限理论的创立更使其锦上添花，以至在近代数学中异军突起。 历史上第一个极限定理是属于雅各布伯努利，后人称之为“大数定律”。因其遗著猜度术于1713 年出版，故概率史家称1713 年为伯努利大数定律创立年。伯努利大数定律给出了频率估计概率的理论依据，同时开创了概率论中极限理论的先河，标志着概率论成为独立的数学分支。1837年，泊松对大数定律提出一个较宽松的条件

4、，进而得到泊松大数定律。之后，由于有些数学家过分强调概率论在伦理学中的应用，又加上概率论自身基础不牢固，大多数数学家往往把概率论看作是有争议的课题，排除在精密科学之外。切比雪夫正是在概率论门庭冷落的年代从事其研究的。 切比雪夫在1866年发表的论文论均值中，提出了著名的切比雪夫大数定律。该论文给出如下三个定理1： 定理1.1：若以表示的数学期望，用表示相应的平方的数学期望，则对任何， 落在 和 之间的的概率总小于 定理1.2：若以表示的数学期望，用表示相应的平方 的数学期望，则不论取何值，个量的算术平均值和他们相应的数学期望的算术平均值的差不超过 的概率对任何都将大于。 定理1.3：如果量 和

5、它们的平方的数学期望不超过一给定的值，则个量的算术平均值和其数学期望的算术平均值之差不小于某一给定的概率，且当趋于无穷时，其值趋于1。. 这就是切比雪夫大数定律，用今天的符号可表示为： 定理：设是两两不相关的随机变量序列，且其方差一致有界，则对任意的，皆有 这里。若随机试验中的每次试验随机事件发生的概率相等，则为伯努利大数定律。又因相互独立的随机变量列必定两两无关，故泊松大数定律也是切比雪夫大数定律的特例。 要证明定理，我们需要用到切比雪夫不等式。其实在上面三个定理中已经给出了切比雪夫不等式，定理1.2我们用今天的数学语言来描述就是： 定理：设是两两不相关的独立随机变量序列，且其方差存在， 若

6、，则对任意的，皆有 。 不难发现这就是切比雪夫不等式，以此我们也可以得出定理1.4的证明，关于其证明我们在下文会提到。作为概率论极限理论中介绍的极少数重要不等式之一，它的应用是非常多的，它可以解决和说明很多关于分布的信息，尤其在估计某些事件的概率的上下界时我们常会用到切比雪夫不等式。 另外，切比雪夫不等式和切比雪夫大数定律是概率论极限理论的基础，其中切比雪夫不等式又是证明大数定律的重要工具和理论基础，而且以切比雪夫不等式的基础上发展起来了一系列不等式是研究中心极限定理的有力工具，切比雪夫不等式作为一个理论工具，它的地位是很高的。事实上，马尔可夫不等式也是切比雪夫不等式的第一种推广形式。在切比雪

7、夫不等式的诞生至今，切比雪夫不等式的应用性质还没有条理性的给出，本文将在切比雪夫不等式的应用方面进行探究。 第二章 切比雪夫不等式的基本理论 2.1 切比雪夫不等式的有限形式和积分形式 定理2.12：（有限形式）设，为任意两组实数，若 且或且，则 （2.1） 若且或且，则 （2.2） 当且仅当或时，（2.1）和（2.2）中的不等式等号成立。 证明：设为两个有相同次序的序列，由排序不等式有 把上述n个式子相加，得 上式两边同除以，得 等号当且仅当或时成立。 定理2.23：（积分形式）设和在区间上单调递增或递减且分段连续，则 （2.3） 若和中一个单调递增，另一个单调递减，则 （2.4） 证明：令

8、，下面我们只证（2.3）且只考虑单调递增，即证 由和在区间上单调递增，我们可以得到对有 对上式两边关于进行积分，得 即 于是，。 2.2 切比雪夫不等式的概率形式 定理2.34：（概率形式）设随机变量的数学期望与方差存在 ，则对于任意正数，有不等式 （2.5） 或 （2.6） 都成立，且存在使得等号成立的充要条件为 ，其中。 这就是常用的切比雪夫不等式。 证明：设为离散型随机变量，其分布列：则 设为连续型随机变量，其密度函数为，则有 由于与是对立事件，故有 。 下证定理的后半部分： 充分性：如果随机变量满足，其中，则 因此可以得 。 必要性：设随机变量的分布函数为，由题设知而 假设，则 于是有

9、 这与题设矛盾，故。 由前面证明可以知道 假设，则 于是 这与题设矛盾，故 于是我们得到 所以，。 切比雪夫不等式的有限形式主要用于代数不等式的解题，在代数不等式证明方面有很重要的应用；而它的积分形式是微积分中几个重要不等式之一，可以灵活简便的解决一些较难积分不等式的题型。不足的是这两种形式我们从上面可以看出在应用中会有很多的条件限制，相反的它的概率形式却要简单的多，应用也更广泛，所以我们接下来要探讨的就是其概率形式的应用。 第三章 切比雪夫不等式在概率论中的应用 3.1 估计概率 3.1.1 随机变量取值的离散程度 切比雪夫不等式估计出随机变量在区间内取值的概率不小于（其中为方差，下文出现的

10、均为方差），由此可知：若方差越小，则概率越大，说明随机变量取值在数学期望 附近的密集程度越高；若方差越大, 则概率越小，说明随机变量取值在数学期望附近的密集程度越低。切比雪夫不等式刻化了随机变量的取值对其期望的离散程度。 3.1.2 随机变量取值偏离超过的概率 在切比雪夫不等式中，取，则 可见，对任何分布,只要期望和方差存在，则随机变量取值偏离超过的概率是很小的，不超过0. 111。 3.1.3 估计事件的概率 例3.1：设相互独立， 对任意给定的，试估计 。 解：依题意得： 由切比雪夫不等式得 。 3.1.4 估计随机变量落入有限区间的概率 许多常见的随机变量的分布，当类型已知时，可完全由它

11、的数学期望和方差决定。当随机变量的分布未知时，通过期望与方差利用切比雪夫不等式可以粗略估计随机变量落入关于其数学期望对称区间内的概率。此时，在已知期望和方差的情况下，只需将改写成或的形式，确定，再选用切比雪夫不等式进行估计。 例3.2：一颗骰子连续掷6 次，点数总和记为，试估计。 解：设第次掷得的点数为（显然互相独立，），则 由的分布为得 故 因而，由的独立性有 故 。 3.2 求解或证明一些有关概率的不等式5 3.2.1 求解相关不等式 已知及事件的概率至少为，估计。 由切比雪夫不等式 得 ， 解得所应满足的不等式，又当时，也可估计，见下面例子。 例3.3：投掷一枚硬币，为了至少有90%的把

12、握使正面向上的频率在0. 49 与0. 51 之间，试估计需要的投掷次数。 解：用表示在次实验中出现正面的次数，显然。那么 次试验中事件出现的频率为 由切比雪夫不等式得 由题意可知 解得 即至少要投掷这枚硬币25000 次，才能至少有90%的把握使正面向上的频率在0. 49 与0. 51之间。 3.2.2 证明相关不等式 例3.4：设随机变量的概率密度函数为 试证明 。 证明： 所以 由于 故由切比雪夫不等式得到 。 3.3 证明大数定律6 3.3.1 切比雪夫大数定律 利用切比雪夫不等式，我们可以证明概率论中一个重要的大数定律-切比雪夫大数定理。 定理3.1：（切比雪夫大数定律） 设独立随机

13、变量序列 的数学期望 和方差都存在，并且方差是一致有上界的，即存在常数，使得 则对于任意的正数，有 。 证明：我们用切比雪夫不等式证明该定理。因为 而相互独立性，所以 应用切比雪夫不等式得 因为，所以，由此得 当时，得 但是概率不能大于1，所以有 。 切比雪夫定律说明：独立随机变量序列的数学期望与方差都存在，且方差一致有上界，则经过算术平均后得到的随机变量，当充分大时，它的值将比较紧密地聚集在它的数学期望的附近，这就是大数定律的统计意义。 3.3.2 伯努利大数定律 切比雪夫大数定律的一个重要推论就是著名的伯努利大数定律，我们同样用切比雪夫不等式来证明。 定理3.2：（伯努利大数定律）在独立试

14、验序列中，设事件的概率，则对于任意的正数，当试验的次数时，有 其中是事件在次试验中发生的频率。 证明：设随机变量表示事件在次试验中发生的次数，则这些随机变量相互独立，服从相同的二项分布，并有数学期望与方差： 显然 则 于是，由切比雪夫不等式得 当时，上式右端趋于1，因此 但是概率不能大于1，所以有 。 伯努利大数定律说明：当试验在相同的条件下重复进行很多次时，随机事件的频率将稳定在事件的概率附近。伯努利大数定律提供了用频率来估计概率的理论依据，这个正确的论断曾经在一系列的科学试验以及大量的统计工作中得到证实，而切比雪夫不等式从理论上对此给出了严格的证明。 第四章 切比雪夫不等式在其他领域的应用 4.1生活中的小概率事件7 有句话说的好：多一个朋友多一条路。我们在生活中少不了朋友的帮助，当然也少不了对朋友的付出。可以说，朋友就是我们生活中很重要的一部分，出门靠朋友，没有朋友或许你将寸步难行。但人们会误解地认为遇见你朋友的概率会很大，因为有时候一天能交上好几个朋友。事实上，从遇见一个人到最后称兄道弟的概率是很小很小的。 下面就来算一下每个人交到朋友的概率，假设：我们每天上学途中、上班途