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1、精品家教个性化教学辅导教案学员姓名：_ 任课教师：_ 所授科目：_数学_学员年级：高三_ 上课时间： 2011 年 月 2日 1点半 至 三点半 共 2_ 课时教学标题函数的基本性质 教学目标梳理知识点 介绍典型解题技巧教学重难点抽象函数的合理赋值上次作业检查要点八 段函数和抽象函数【例8】2010天津理（8）已知函数若则实数的取值范围是 A B C D 【命题立意】分段函数是一类非常重要的函数形式，因为其覆盖面较大，而备受命题人的青睐. 本小题考查函数求值、不等式求解、对数函数的单调性等基础知识，考查分类讨论的数学思想。【标准解析】由已知，函数在整个定义遇上单调递增的。故 ，等价于，解得【误
2、区警示】常见的错误是计算中不能根据自变量的范围挑选出适合的函数段，或计算错误.解决这类问题的有效方法是由内到外逐层计算，解题时要层次分明，思路清晰.【变式训练】2010年天津文（8）若函数=,若 ,则实数a的取值范围是（A）（-1，0）（0，1） （B）（-，-1）（1,+）（C）（-1，0）（1,+） （D）（-，-1）（0,1）【标准解析】当时，由f(a)f(-a)得：，即，即，解得；当时，由得：，即，即，解得，故选C。【技巧点拨】分段函数问题的解题方法是“分段解决”，各段解决完后，再综合.【例9】2010年重庆理(15) 已知函数满足：， ，则_【命题立意】抽象函数和分段函数一样也是当前
3、高考考查的热点，由于抽象函数只给一些函数的性质，而不知函数的具体解析式，因而是函数的一个难点.选择本题旨在抛砖引玉，寻找一般的解题思路.【标准解析】取x=1 y=0得法一：通过计算，寻得周期为6故=f(0)= 法二：取x=n y=1,有=+,同理=+联立得= 所以T=6 故=f(0)= .【误区警示】找不到已知函数值和未知函数值的联系，不会利用所给函数性质进行合理地赋值，是思路受阻的主要原因.【变式训练】2009年四川文12、已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有 ，则的值是 A. 0 B. C. 1 D. 【标准解析】若0，则有，取，则有： （是偶函数，则 ）由此得于
4、是，【技巧点拨】解决抽象函数问题，要全面地应用其所具有的性质展开解题思路.通常的方法是赋值法.要善于根据题目条件寻找符合条件的函数原型，帮助探求结论，找到解决问题的思路和方法.练习归纳了常见的函数原型，最好记住.第3讲函数的性质【知识精讲】1.根据函数的单调性的定义，证明（判定）函数 在其区间上的单调性，其步骤是（1）设x1、x2是该区间上的任意两个值，且x1x2； （2）作差f（x1）-f（x2），然后变形； （3）判定f（x1）-f（x2）的符号；（4）根据定义作出结论. 2.求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域，函数的增减区间都是其定义域的子集;其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函
5、数的单调区间.常用方法有：根据定义，利用图象和单调函数的性质，还可以利用导数的性质.3.复合函数的单调性 对于复合函数y=fg(x),若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数,且y=f(t)在区间(g(a),g(b)或者(g(b), g(a)上是单调函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相同 (同时为增或减),则y=fg(x)为增函数;若t=g(x)与 y=f(t)的单调性相反,则y=fg(x)为减函数. 简称为:同增异减.4.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件; (2)f(-x)=-f(x)
6、或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.5.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式: =0 =1(0). 6.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴 对称,反之也真.利用这一性质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.【基础梳理】1.函数的单调性 （1）单调函数的定义 增函数减函数定义一般地，设函数的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 当x1x2时,都有 f（x1）f(x2) ，那么就说函数在区间D上是增函数 当x1f(x2) ，那么就说函数在区间D上是减函
7、数 图象描述自左向右看图象是_上升的_ 自左向右看图象是_下降的 _ (2)单调区间的定义 若函数在区间D上是_增函数_或_减函数 _，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，_区间D_叫做的单调区间. 2.奇函数、偶函数的概念 一般地,如果对于函数的定义域内任意一个x，都有_ f（-x）=f（x）_，那么函数就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数的定义域内任意一个x，都有_ f（-x）=-f（x）_，那么函数就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴 对称.3.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是: （1）考查定义域是否关于_原点 _对称
8、；（2）考查表达式是否等于或-： 若=_- _，则为奇函数； 若=_，则为偶函数； 若=_-_且=_,则既是奇函数又是偶函数； 若）-且，则既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数. 4.奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_相同_, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_相反_(填“相同”、“相反”）.(2)在公共定义域内 两个奇函数的和是_奇函数_,两个奇函数的积是偶函数； 两个偶函数的和、积是_偶函数_； 一个奇函数，一个偶函数的积是_奇函数_. 要点十函数的单调性【例10】定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，（1）试求的值；（2）判断的单调性并证明你的
9、结论；（3）设，若，试确定的取值范围【命题立意】函数单调性是函数的重要性质，是每年必考内容.判断方法主要有定义法、导数法、图象法.解答题常用导数法，本题就用到这种方法.【标准解析】判断函数的单调性可以用导数法和定义法.【误区警示】利用定义法判断，变形不到位，不能判断出差的正负；利用导数判断，求错导数的不再少数.【变式训练】已知在其定义域R上为增函数，=1, = )+.解不等式+ 3【标准解析】【技巧点拨】单调性的应用：比较大小；解抽象不等式；求值域等 要点十一函数的奇偶性【例11】判断下列函数的奇偶性（1）=x (nN, x0)（2）=log2(x+), xR（3）=lgx2+lg (x0)
10、（4）=()tanx（5）=【命题立意】函数的奇偶性是函数的重要性质，是高考的热点.【标准解析】判断函数的奇偶性，首先要求出函数的定义域，看定义域是否关于原点对称.然后利用定义判断，寻找和的关系. （1） nN, 2n是偶函数，2n+1是奇数，=(-x)=x= 是偶函数。（2）=log2(-x+)=log2=-log2(x+)=-， 是奇函数。（3）=lgx2+lg=0，则=且=-，既是奇函数，又是偶函数。（4）的定义域是x|xR且x kZ关于原点对称，又=()tan(-x)=-()tanx=()tanx=为偶函数（5）对于三角形1+sinx+cosx，当x=时，其值为2，当x=-时，其值为零
11、，由此1可知原函数=的定义域中包含x=，但是不包含x=-，所以定义域不关于原点对称，所以是非奇偶的函数。【误区警示】判断函数奇偶性是时，学生往往忽略求函数的定义域，导致错误；再者，不会合理变形，导致判断错误.【变式训练】判断下列函数的奇偶性.（1）；（2）（3）已知函数对任意都有.【标准解析】具体函数先求函数定义域，分段函数分段讨论奇偶性，抽象函数要合理取值，寻找和的关系.【技巧点拨】 判断函数的奇偶性首先求函数的定义域,这是固定的步骤.如果定义域关于原点对称,利用定义,计算比较和,有时,需要对函数进行化简后再判断,较为简便.如果不好判断,可以利用奇偶性定义等价形式进行判断.若证明函数不具有奇
12、偶性,举组反例即可.【答案】1）奇函数（2）函数的定义域为且.图象关于原点对称，又关于y轴对称，所以既是奇函数又是偶函数.函数的定义域为.当时，当时，综上，对任意，是奇函数.【题型透视】判断函数奇偶性的主要方法有：定义法、图象法.做选择题或填空题时还可以用一些常用的结论如：两个偶函数的和或差构成的函数还是偶函数等；分段函数的奇偶性要分开段讨论.要点十二函数的最值或值域【例12】求下列函数的值域：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）；（7）； （8）； （9）【命题立意】求函数最大、最小值问题历来是高考热点，这类问题的出现率很高，应用很广因此我们应注意总结最大、最小值问题的解题
13、方法与技巧，以提高高考应变能力因函数的最大、最小值求出来了，值域也就知道了反之，若求出的函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也等于求出来了【标准解析】一次函数和二次函数的值域利用函数的单调性来解决；是一个复合函数，内部函数是一个二次函数，可用配方法，然后整体换元.含有多个绝对值的函数通过讨论去掉绝对值符号，写成分段函数的形式，然后分段求，再综合.分式型的函数如果分子和分母中变量的最高次数一直，用分离常数法，如小题，不一致者用均值不等式法.【误区警示】知识贮备少，不能针对题目的特点选择相应的方法.【答案】（1）（配方法），的值域为（2）求复合函数的值域：设（），则原函数可化为又，故， 的值域
14、为（3）分离变量法：，函数的值域为（4）换元法（代数换元法）：设，则，原函数可化为，原函数值域为（5）三角换元法：，设，则，原函数的值域为（6）数形结合法：， ，函数值域为（7）判别式法：恒成立，函数的定义域为由得： 当即时，即，当即时，时方程恒有实根，且，原函数的值域为（8），当且仅当时，即时等号成立，原函数的值域为（9）方程法：原函数可化为：，（其中），原函数的值域为【变式训练】求下列函数的值域 y=3x+2(-1x1) 【标准解析】中函数是一个一次函数,利用函数单调性求即可;函数较为简单,直接观察即可;分离常数后,可借助反比例函数的单调性解决;中函数利用均值不等式即可,但注意均值不等式使用的条件.【技巧点拨】 求函数值域的一般方法是:观察法、换元法、单调性法、基本不等式法、数形结合等，含
