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1、专题 32 平面向量的应用专题知识梳理1向量在平面几何中的应用(1) 证明线段相等、平行，常运用向量加法的_三角形_法则、_平行四边形_法则，有时也用到向量 减法的定义(2) 证明线段平行，三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件、allb十x2；0巾2-x/Fg妙尹2则(3) 证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件，a丄boab=0oXX2+yy2=0(4) 求夹角问题：利用夹角公式cos=|a|(5)用向量方法解决几何问题的步骤： 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题; 通过向量运算，研究几何元素之间的关系； 把
2、运算结果“翻译”成几何关系2向量在解析几何中的应用(1)直线的倾斜角、斜率与平行于该直线的向量之间的关系a设直线l的倾斜角为斜率为乩向量a=(a，a2)平行于l,则k=tana=-2；如果已知直线的斜率为k12a1=牛，则向量(Q, a2)与向量(1, k)一定都与l平行.a112(2)与 a=(a1，a2)平行且过P(x0，y0)的直线方程为y尹0=手(%x0),过点P(x0，y0)且与向量a=(a1，a2) 垂直的直线方程为yy0=Oxx。).考向 1 向量在平面几何中的应用【例】(1) (20191 泰州模拟)平面四边形ABCD中，AB+CD=0, (ABAD)-AC=0,则四边形ABC
3、D的 形状是.(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，贝则DEC的值为一_； DEDC的最大值为【解析】(1) Ab+CD=0ab=CD=DC平面四边形ABCD是平行四边形，(abad)-aC=dbaC=0斗DB丄花，所以平行四边形ABCD是菱形.(2)如图 1, DECB = (DA+AE)CB=DACB+AECB=DA2=1, DEDC=(DA+AE)DC=DADC+ AEDC=AEDC= |AE|DC|DC|2 = 1.图1题组训练1已知O是平面上的一定点，A, B, C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足(9P=(5A+A(Ab+Ac), 久丘(0,+s),则点P的
4、轨迹一定通过ABC的(填“内心” “外心”“重心”或“垂心”).【解析】由原等式，得(JP-(JA=A(ab+aC),即Ap=A(AB+AC),根据平行四边形法则，知AB+AC是MBC 的中线AD(D为BC的中点)所对应向量AD的2倍，所以点P的轨迹必过KABC的重心.122.若等边AABC的边长为23，平面内一点M满足CM =-CB + CA，则MAMB =.63【解析】合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设c(0,0), A(2p3,0), Bg3,3)，-1)，运用数量积公式3 3 i；3i这样利用向量关系式，求得m( 2 ,-)，然后求得Ma =(才，-),Mb =(- 解得为
5、-2。考向 2 平面向量与三角综合【例】在ABC中，A, B, C所对的边分别为a, b, c,向量m=(cos A, sin A),向量n = (/2 sin A, cos A),若|m+n|=2.(1)求角 A 的大小；在AABC外接圆的半径为2, b=2,求边c的长.【解析】 依题意：加+=(cosA sinA+./2, cos Asin A),因为 M+|=2,所以(cos A sin A + 岑 2)2+(cos A + sin A)2=4,化简得：sinA = cos AntanA = 1,故有A=n.a 依题意，在ABC中，由正弦定理击肓=2R=4, 所以 a=2：2.由余弦定理
6、可得：a2=b2+c22bccosA,化简得：c22；2c4 = 0,解得c=V2 + #6(负值舍去).题组训练1已知函数f(x)=ab+1，其中 a=3sin xcos x,1), b= (cos x,1)(1) 求函数f (x)的最大值和最小正周期；(2) 设厶ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 c=3, f (C)=0,若 sin(A + C)=2sin A,求 a、b 的 值【解析】(1f (x)=ab+*=V3sin xcos xcoszxl+ghsin 2xg(1+cos 2x)* = sin(2x6)1f (x)的最 大值为0,最小正周期为兀nn n ll
7、nn(2f (C) = sin(2C6)_ 1 = 0,又一62C6又Tsin(A + C)=sinB=2sin A, 由正弦定理得f=2,由余弦定理得c2=a2+b22abcosf，即 a2+b2ab=9.由解得：a=i/3, b=2/3.2. 在ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,已知向量 m=(sinA, cosA), n = (cosA，cosA)，且 迈 2mn+|m|=2，ABAC= 1.(1)求角 A 的大小；求ABC的面积S.【解析】因为 2mn=2sin2cos今一2cos2今=sinA(cosA +1)2sin(A 4) 1，又|m| = 1,所
8、以 2mn+|m| = 2sin(A4)=,即 sin(An)=因为 OVAVn,所以一4A乎，所以 A4=6,5n巧.5n(n n(2)cosA = cosJ2=cos(6 十 4=COS6COS4.n . nsin6sin4,因为ABAC=bccosA = 1,所以 bc=：6 + V2.又 sinA=辟=血(6十4=逅护，所以QBC的面积S=2bcsinA=2(0,.cn；21,.c的最小值为(2) ： x y，.: 2sin(l 2$加2)+ - 3cos2E=0,2兀 5n几 5n2sinBcosB+V3cos2B=0,即 sin2B+、/3cos2B=0, .tan2B=/3, .
9、22=彳或5或5：cosC3卫10 J 2，5n 厶. n .( 右. n, n.B=6(舍去)，B=3 sin(B/)=sin=sin(C3J = sinCcos3cosCsm3=込一3 391 3诟X10 2 204. 设向量 a=(sinx, cos2x), b=h/3cosx,)，函数f(x)=ab.(1)求函数f (x)的最小正周期；若 03，f(2)=5，求 cos a 的值.1n3in【解析】(1)f (x) =、j3sin xcos x+cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin(2x+g),所以最小正周期T=2n 2 =n.(2)由/(申)=4，得 sin(a+|)=5
10、，所以 cos2(a+n)=25.因为 0a3，所以6a+62+1,故两圆相离.如图所示，设直线CM和圆M交于H, G两点，则PEPF最小值是HfeHF, HCCM1 = 5 1=4,HE=i HC2CE2=1642 V3,CE 11sin ZCHE=ch= 2，:cosZEHF cos 2ZCHE 1 2sin2ZCHE=q，HEHF= |HE|丽cos ZEHF= 2后2讨討=6.2. 已知平面上一定点C(2, 0)和直线l： x=8, P为该平面上一动点，作P0丄l,垂足为Q,且(PC+|pQ)(PC （%8）2=o,化简得16+12=1.所以点p在椭圆上，其方程为磊+1!=1.（2）因
11、陆曲=NnenP）（nFnP）=（nFnP）（nFnP）=np7nF=nR1, p 是椭圆話+ 12=1 上的任一点，设 P（x0, y0）,则有器+1=1，即 %2=164y0，又 N（0, 1）,所以 NP2=xg+（y01）2= 3y02y0+17=!0+3）2+20因y0，所以当y0=3时，NP2取得最大值20,故P1PF的最大值为19； 当y0=2羽时，NP2取得最小值为134诵（此时x0=0）,故P1PF的最小值为123.(1)求动点 P 的轨迹方程；(2)若 EF为圆N： x2+(y1)2=1的任一条直径，求PEPF的最值.【解析】 设 P(x, y)，则 Q(8, y).由屁+無)夙一扼)=0,得|PC|21 2|PQ|2 = 0, 即(x2)2+y21
