《新版高考数学理一轮规范练【16】导数在函数最值及生活实际中的应用含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新版高考数学理一轮规范练【16】导数在函数最值及生活实际中的应用含答案（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 1课时规范练16导数在函数最值及生活实际中的应用课时规范练第31页一、选择题1.已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在-2,2上有最大值3,那么此函数在-2,2上的最小值是() A.-37B.-29C.-5D.以上都不对答案:A解析:由f(x)=6x(x-2),可知f(x)在(-2,0)上为增函数,在(0,2)上为减函数,因此,当x=0时,f(x)=m最大.故m=3,f(-2)=-37,f(2)=-5.2.已知f(x)=x2-cos x,x-1,1,则导函数f(x)是()A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值,又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值,又有最小值的
2、奇函数答案:D解析:f(x)=x+sin x,显然f(x)是奇函数.令h(x)=f(x),则h(x)=x+sin x,求导得h(x)=1+cos x.当x-1,1时,h(x)0,所以h(x)在-1,1上单调递增,有最大值和最小值.所以f(x)是既有最大值又有最小值的奇函数.3.若函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有最小值,则实数b的取值范围是()A.(0,1)B.(-,1)来源:学科网C.(0,+)D.答案:D解析:f(x)在(0,1)内有最小值,即f(x)在(0,1)内有极小值.由f(x)=3x2-6b,并结合题意知,函数f(x)的草图如图所示,解得0b0,函数f(x)在区间0,
3、1上单调递增,在区间-1,0上也单调递增,来源:即f(1)=a13+b1+21=4.a+b=2.f(-1)=a(-1)3+b(-1)+2-1=-a-b+=-2+=-.故函数f(x)在-1,0上的最小值为-.5.函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-,1)上有最小值,则函数g(x)=在区间(1,+)上一定()A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数答案:D解析:f(x)=x2-2ax+a在区间(-,1)上有最小值,a1.g(x)=x+-2a,则g(x)=1-.x(1,+),a0,即g(x)0.故g(x)在(1,+)上是增函数.6.在上,函数f(x)=x2+px+q与g(x)=在同一点处
4、取得相同的最小值,那么f(x)在上的最大值是()A.B.4C.8D.答案:B解析:g(x)=,且x,g(x)3,当且仅当x=1时,g(x)min=3.又f(x)=2x+p,f(1)=0,即2+p=0,得p=-2.f(x)=x2-2x+q.又f(x)min=f(1)=g(x)min=3,1-2+q=3,q=4.f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3,x.f(x)max=f(2)=4.二、填空题7.某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(元)之间的关系式为P=24200-x2,且生产x吨的成本为R=50000+200x元,则当利润达到最大时该厂每月应生产吨产品.答案:
5、200解析:当月产量为x吨时利润为f(x)=x-(50000+200x)=-x3+24000x-50000(x0),f(x)=-x2+24000.令f(x)=0,解得x1=200,x2=-200(舍去).f(x)在0,+)内只有一个点x=200使f(x)=0,故它就是最大值点.8.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间-3,3上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m=.答案:32解析:令f(x)=3x2-12=0,得x=-2或x=2.列表得:x-3(-3,-2)-2(-2,2)2(2,3)3f(x)+0-0+f(x)17单调递增极大值24单调递减极小值-8单调递增-1可知M=24,m=-8,
6、M-m=32.9.已知函数f(x)的定义域为-1,5,部分对应值如表,x-1045f(x)122来源:1f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示.下列关于函数f(x)的命题:来源:函数f(x)的值域为1,2;函数f(x)在0,2上是减函数;如果当x-1,t时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;当1a2时,函数y=f(x)-a有4个零点.其中真命题为(填写序号).答案:三、解答题10.横梁的强度和它的矩形横断面的宽与高的平方的乘积成正比,要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,求横断面的高和宽分别是多少.解:如图所示,设矩形横断面的宽为x,高为y.由题意知:当xy2取最大值时,横梁的强度
7、最大.y2=d2-x2,xy2=x(d2-x2)(0xd).令f(x)=x(d2-x2)(0xd),求导数得f(x)=d2-3x2.令f(x)=0,解得x=d或x=-d(舍去).当0x0;当dxd时,f(x)0,因此,当x=d时,f(x)取得极大值,也是最大值.综上,当矩形横断面的高为d,宽为d时,横梁的强度最大.11.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(L)关于行驶速度x(km/h)的函数解析式可以表示为y=x3-x+8(0x120).已知甲、乙两地相距100km.(1)当汽车以40km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲
8、地到乙地的耗油量最少?最少为多少升?解:(1)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了=2.5(h),要耗油2.5=17.5(L).(2)当速度为x km/h时,汽车从甲地到乙地行驶了h,设耗油量为h(x)L,依题意得h(x)=x2+(0x120),h(x)=(0x120).令h(x)=0得x=80.当x(0,80)时,h(x)0,h(x)是增函数.所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25.因为h(x)在(0,120上只有一个极值,所以它是最小值.答:当汽车以80 km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少为11.25L.12.(20xx广东高考)设函数f(x)=(x-1
9、)ex-kx2(kR).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k时,求函数f(x)在0,k上的最大值M.解:(1)当k=1时,f(x)=(x-1)ex-x2,f(x)=ex+(x-1)ex-2x=xex-2x=x(ex-2),令f(x)=0,得x1=0,x2=ln2,当x变化时,f(x),f(x)的变化如下表:x(-,0)0(0,ln2)ln2(ln2,+)f(x)+0来源:-0+f(x)极大值极小值由表可知,函数f(x)的递减区间为(0,ln2),递增区间为(-,0),(ln2,+).(2)f(x)=ex+(x-1)ex-2kx=xex-2kx=x(ex-2k),令f(x)=0
10、,得x1=0,x2=ln(2k),令g(k)=ln(2k)-k,k,则g(k)=-1=0,所以g(k)在上单调递增.所以g(k)ln2-1=ln2-lne0.从而ln(2k)k,所以ln(2k)(0,k).所以当x(0,ln(2k)时,f(x)0;所以M=maxf(0),f(k)=max-1,(k-1)ek-k3.令h(k)=(k-1)ek-k3+1,则h(k)=k(ek-3k),令(k)=ek-3k,则(k)=ek-3e-30.所以(k)在上单调递减,而(1)=(e-3)0,当k(x0,1)时,(k)0,h(1)=0,所以h(k)0在上恒成立,当且仅当k=1时取得“=”.综上,函数f(x)在0,k上的最大值M=(k-1)ek-k3.
