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1、平面向量的基本定理与坐标表示一、复习目标:1.掌握平面向量的正交分解、坐标表示及几何意义。2能在坐标形式下进行平面向量的线性运算。3.理解平面向量的基本定理并能求给定向量在给定基底下的分解。二、学法指导1理解向量坐标与向量正交分解之间的关系。2坐标形式下向量的运算的技巧性应注意把握。三、知识梳理1. 平面向量的基本定理(1) 是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数1,2,使得 ,其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组 .平面内任意 _的向量都可以作为一组基底,两个平行向量不可以作为向量的基底.(2) 平面内的任一向量,都可以沿两个不共线的方向分解
2、成两个向量的和,并且是唯一的,所以平面向量的基本定理也叫做唯一分解定理.2. 平面向量的坐标形式在直角坐标系内,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底.对平面内任意一个向量,有且只有一对实数x、y,使得= _(向量的分量表示),记作= (向量的坐标表示),其中x叫做的的横坐标,y叫做的纵坐标.3. 平面向量的坐标运算(1) 设=(x,y),那么与相等的向量的坐标为 .(2) 设=(x1,y1),=(x2,y2),则 , , .(3) 若点A、B的坐标分别为(x,y1)、(x2,y2),那么的坐标为 .四、课前预习1.已知,则_.2.已知向量,向量则= _.3若,若,则_,若,且,则_
3、.4在直角坐标系xOy中,分别是与x轴,y轴平行的单位向量.若直角三角形ABC中,则实数m=_5.如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若,则x=_,y=_.五、例题精讲知识点1 向量平行的坐标运算例1 已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),那么向量与平行吗?向量与平行吗?变式拓展:在梯形ABCD中,已知,A(1,1),B(3,-2),C(-3,-7).若(-2),求点D的坐标.小结:练习:(1)已知,则 (2)已知A,B,C三点坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),=,=.求证:.知识点2 向量垂直的坐标运算例2已知若,求实数的值变式拓展:已知向量=
4、(sin,),=(1,cos),.(1) 若,求;(2) 求的最大值.小结:例3如图,在边长为1的正三角形ABC中,E,F分别是边AB,AC上的点,设=m, =n,m,n(0,1)设EF的中点为M,BC的中点为N(1) 若A,M,N三点共线,求证:;(2) 若,求| |的最小值知识点3 平面向量的基本定理例4已知是平面内两个不共线的向量, ,试用表示. 变式拓展1:如图,在平行四边形ABCD中,H、M分别是AD、DC的中点,点F使BFBC,求以为基底分解向量与.小结:练习:若向量,试用表示.变式拓展2:如图,向量、的长度分别是2、1,、,则 + 。小结:六、作业 凤凰台配套练习1. 若向量=(1,1),=(1,-1),=(-1,2),则等于 .2. 设为已知向量,且,则等于 .3. 与平行且反向的单位向量为_.4. 设,则C、D的坐标分别是 _.5.已知点,若向量与同向, =,则点B的坐标为 .6. 设,则k_时,A,B,C共线.7. 已知O 是坐标原点,点A在第二象限,求向量的坐标为_.