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1、一元函数的连续性第四章 函数的连续性1连续性概念1. 按定义证明下列函数在其定义域内连续:(1);(2) .证明(1) 的定义域是且,取,由函数极限四则运算可知,所以在连续.由在定义域内的任意性知在其定义域内连续.(2) 的定义域是,任取,由于,所以对任给的,取,使得当时有.按函数在一点连续的定义, 在连续,由在中的任意性知在定义域内连续.2. 指出下列函数的间断点并说明其类型:(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5);(6) (7) 解(1)因仅在处无定义,故为函数的间断点,又因,所以为第二类间断点.(2)因仅在处无定义,故为函数的间断点, 又因所以是的第一类间断点,且为跳跃间断点.(
2、3)由于而,所以为该函数的可去间断点.(4)由于故,而,所以为函数的可去间断点.(5)由于故所以皆为函数的跳跃间断点.(6)当时,由于存在有理数列和无理数列使得: 且;且,故而且据函数极限的归结原则, 不存在,同理也不存在,所以的点皆为函数的第二类间断点.(7)因为所以为函数的第二类间断点.因为即所以为函数的跳跃间断点.综上, 是该函数的第二类间断点, 是该函数的跳跃间断点.3. 延拓下列函数,使其在上连续:(1) ;(2) ;(3) .分析:如果函数在上无定义的点皆为可去间断点,那么只需在每个无定义的点处补充定义,就可以使的定义扩大到上且处处连续.解(1) 在时无定义,而,故为的可去间断点,
3、令则为在上的延拓,且在上连续.(2) 在时无定义,而,所以为该函数的可去间断点.令则为在上的延拓,且在上连续.(3) 在时无定义,而,所以为该函数的可去间断点.令则为在上的延拓.4. 证明:若在点连续,则与也在点连续.又问:若或在上连续,那么在上是否必连续?分析 将和与的不等式关系找出,从而利用极限定义求证其连续,即运用极限理论讨论可得结论.证明(1)因为在点连续,所以,则根据极限的定义,对任给的,存在,使得当时有.又因所以当时也有.所以,即可知在点连续.(2) 因在连续,即,所以由函数极限的局部有界性知,存在,使得当时,有.取,当时,有.所以在连续.但是,当或在上连续时, 在上不一定连续.例
4、如则,为常数1,故处处连续,但却处处不连续.5. 设当时, ,而.证明: 与两者中至多有一个在连续.证明:反证法 假设和都在连续,即,又因时,所以,从而有,这与题设相矛盾.因此假设错误. 与两者中至多有一个在连续.6. 设为区间上的单调函数.证明:若为的间断点,则必是的第一类间断点.证明:设在上递增,当且不是的端点时,必存在的某邻域,因在内递增且以为上界,在内递增且以为下界,据函数极限的单调有界原理知与都存在,从而是的第一类间断点.当且为的左(右)端点时, 在处的右(左)极限存在,所以仍为第一类间断点.7. 设函数只有可去间断点,定义.证明为连续函数.证明:设的定义域为,则对任意的,因为,所以
5、对任意的,存在,当时,有.对任意的,因为,所以对同一,存在,使,且对任意的时,有.从而有.从而得,所以在点处连续.由的任意性知, 在上连续.8. 设为上的单调函数,定义.证明在上每一点都右连续.证明:假定为上的单调函数.对任意的,因存在,即,所以对任意的,存在,当时,有.取使,有.又由在上的单调增加性有,即有.由此可知,对一切有.因此点是的右连续点,再由在上的任意性,推得为上的右连续函数.9. 举出定义在上分别符合下述要求的函数:(1) 只在和三点不连续的函数;(2) 只在和三点连续的函数;(3) 只在上间断的函数;(4) 只在右连续,而在其它点都不连续的函数.解(1) (2) (3) (4)
6、 2连续函数的性质1. 讨论复合函数与的连续性,设(1) ;(2) 解(1)由于,故,所以在所有点上都连续.又且,所以为的可去间断点,其余点均为的连续点.(2)由于,且所以在处有跳跃间断点,在其它点连续.又,所以处处连续.2. 设在点连续,证明:(1) 若,则存在,使在其内有;(2) 若在某内有,则.证明(1)令,则,又因为在点连续,由定理4.4知在点连续.由连续函数的局部保号性,对任何正数,存在某,使得对一切,有,即存在,使得对一切,有,即.(3) 由在点连续可知,有,又因为在内有,则有极限保号不等式性有.3. 设在区间上连续.记.证明和也都在上连续.证明:法一利用第一章总练习题1的结论.因
7、在上连续,而,是由经过加,减,乘运算及其幂函数的复合运算所得,故也在上连续.法二 利用和的性质,由的连续性推出和的连续性.对区间上任意一点,在点连续,则对任给,存在正数,使得当时,有,当时,有.取,则有,同时成立.从而有且.即.又有且,即.综合以上得.由的任意性得.即同理可证4. 设为上连续函数,常数.记证明在上连续.证明:令,因常数,都在上连续,所以由3题结论知在上连续,又因也在上连续,再由3题结论知在上连续,即在上连续.5. 设证明复合函数在连续,但在不连续.证明:因所以,.又,故在连续,但是,因,故在不连续.6.设在上连续,且存在.证明: 在上有界,又问在上必有最大值或最小值吗?证明(1
8、)由于存在,设,则根据极限定义,对,存在,使得当时,有,从而。又因为在上连续,从而在上连续,根据闭区间上连续函数有界性知,存在,使得对一切,有,取,则对一切,恒有,故在上有界。(2)虽然在上连续且有界,但不是闭区间,因此不能保证在上一定有最大值或最小值。例如:在上连续,但在上无最小值。7若对任何充分小的,在上连续,能否由此推出在内连续。解:可推出在内连续。证明如下:任取,令,则,且。从而,因在上连续,所以在连续。由的任意性,证得在内连续。8求极限:(1);(2)。解:(1)由于为初等函数,点在定义域内,从而函数在该点连续,于是有。(2)该函数为初等函数,在处右连续,故。9证明:若在上连续,且对
9、任何,则在上恒正或恒负。证明:反证法。若在上有正值也有负值,不妨设,使,因在上连续,从而也在上连续,且,由根的存在性定理,至少存在一点,使得,与题中条件矛盾,因此假设错误,故在上恒正或恒负。10证明:任一实系数奇次方程至少有一个实根。证明:设方程为:,其中为奇数,不妨设,记,则,由,知任给,存在,当时,。由,知任给,存在,当时,。由上知,在上连续,且,由根的存在性定理,至少存在一点,使得,故至少有一个实根。11.一致连续的定义证明:若都在区间上一致连续,则也在上一致连续。证明:因在区间上一致连续,则任给,存在,使得对任意的,只要,就有。当,就有。取,那么对任何,只要,就有。由定义,在上一致连续
10、。12.证明在上一致连续。证明:因为在闭区间上连续,据一致连续性定理知,在上一致连续。由于时,有,所以对任给的,可取,只要,且,就有。由定义,在上一致连续。综上,在上一致连续。13.证明:在上一致连续,但在上不一致连续。证明:先证在上一致连续,由于时,有令,所以对任给的,取,当且时,有,故在上一致连续。再证在上不一致连续。取,无论正数多么小,存在满足:,但,所以在上不一致连续。14.设函数在区间上满足利普希茨(Lipschitz)条件,即存在常数,使得对上任意两点都有。证明在上一致连续。证明:对任给的,取,当且时,由利普希茨条件有。故在上一致连续。15.证明在上一致连续。证明:由于任意的时恒有
11、。所以对任给的,取,那么对一切,只要,就有。故在上一致连续。16.设函数满足第6题的条件。证明在上一致连续。证明:因为存在,设,则对任意的,存在,当时,有。又在上连续,从而可得,有在上一致连续。对任意的,有,。从而有。所以在上一致连续。由例10的结论可知在上一致连续。17.设函数在上连续,且。证明:存在点,使得。证明:设。由于在上连续,所以在上连续,于是在上连续。又。若,则取均可以。若。则,由根的存在性定理,存在,使得,即。综上,存在,使得。18.设为上的增函数,其值域为。证明在上连续。证明:反证法。假设在上某点不连续,则存在,对任意的,存在,使得。又为上的增函数,则有。是一个闭区间,由实数的
12、稠密性,对上述,存在,当时,有成立。由假设推出的结论与此矛盾,因此假设错误,原命题结论成立。即在上连续。19.设在上连续,。证明:存在,使得。证明:设中的最大者为,最小者为,则有,若或,则取或均满足要求。若。对在以,为端点的区间上应用连续函数介值性定理知,存在使得。20.证明在上一致连续。证明:由于可看成函数与的复合,由定理4.5知,在上连续,据一致连续性定理,又知必在上一致连续。当时,对任给的,取,对任何,只要,就有。所以在上一致连续。3.初等函数的连续性1.求下列极限:(1);(2);(3);(4);(5)。解:(1)因函数在连续,故。(2)由初等函数的连续性,。(3)(4)。(5)。2.
13、设,。证明:因,故存在,当时,有,从而。第五章导数和微分1.导数的概念1.已知直线运动方程为,分别令,求从到这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。解:平均速度是差商概念。从到时间内, 分别令,可得平均速度分别为。瞬时速度是导数的概念。2.等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比,试由此给出变速旋转的角速度的定义。解:变速旋转的角速度包括平均角速度与瞬时角速度。平均角速度是差商概念,则时刻到时间内的平均角速度为。通常所说变速旋转的角速度多指瞬时角速度。3.设,试求极限。解:依导数定义,。4.设试确定的值,使在处可导。解: ,又可导必连续,从而,由于,故,从而。综上,。5.试确定曲线上哪些点的
14、切线平行于下列直线:(1);(2)。解:曲线在点处切线的斜率为。(1) 直线的斜率为1,从而得,代入,得,所以曲线上处的切线平行于直线。(2) 直线的斜率为2,从而得,代入得,所以曲线上处切线平行于直线。.6. 求下列曲线在指定点的切线方程与法线方程:(1);(2)。解:(1),故切线方程为,即;法线斜率为,故法线方成为,即。(2),故切线方程为,即,法线方成为。7.求下列函数的导函数:(1);(2)解:(1)当时,;当时,;当时,所以。故。(2)当时,;当时,当时,因,所以在不可导,故。8.设函数,试问:(1)等于何值时,在连续;(2)等于何值时,在可导;(3)等于何值时,在连续。解:(1)当时,.因此,对一切正整数,在连续。(2),当即时,;当时,不存在,故正整数时,在可导且。(3) 由(2)知,当时,。当时,故正整数时,在连续。10. 求下列函数的文定点:(1);(2)。解:(1),则故是原函数的文定点。(2),故是函数的文定点。10.设函数在点存在左右导数,试证在点连续。证明:因为在点存在右导数,依定义有存在,即,所以。同理,根据在左可导有,所以,即在连续。11. 设,。求。解:,而有界,故得到。12. 设是定义在上的函数,且对任何,都有。若,证明对任何,都有。证明:由可得,从而或.若,则与已知矛盾,故成立.对任何,有即对任何,有.13. 证明:若存在,则.