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1、离散型随机变量的均值与方差考情分析考点新知离散型随机变量的分布列、期望、方差和概率的计算问题结合在一起进行考查，这是当前高考命题的热点，因为概率问题不仅具有很强的综合性，而且与实际生产、生活问题密切联系，能很好地考查分析、解决问题的能力了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义会求离散型随机变量的均值、方差和标准差，并能解决有关实际问题.1. (选修23P67习题4改编)某单位有一台电话交换机，其中有8个分机设每个分机在1h内平均占线10min，并且各个分机是否占线是相互独立的，则任一时刻占线的分机数目X的数学期望为_答案：解析：每个分机占线的概率为，XB，即X服从二项分布，所以期望E(X
2、)8.2. (选修23P66例2改编)有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X，则E(X)_，V(X)_.答案：21.98解析：XB(200, 0.01)，所以期望E(X)2000.012，V(X)2000.01(10.01)1.98.3. (选修23P71习题4改编)某人进行射击，每次中靶的概率均为0.8，现规定：若中靶就停止射击，若没中靶，则继续射击，如果只有3发子弹，则射击数X的均值为_(填数字)答案：1.24解析：射击次数X的分布列为X123P0.80.160.04E(X)0.810.1620.0431.24.4. (选修23P71习题1改编
3、)随机变量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(X)，则方差V(X)的值是_答案：解析：a、b、c成等差数列，有2bac，又abc1，E(X)1a1cca.得a，b，c， V(X)222.5. 一高考考生咨询中心有A、B、C三条咨询热线已知某一时刻热线A、B占线的概率均为0.5，热线C占线的概率为0.4，各热线是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有条热线占线，则随机变量的期望为_答案：1.4解析：随机变量可能取的值为0、1、2、3.依题意，得P(0)0.15, P(1)0.4，P(2)0.35，P(3)0.1 的分布列为0123P0.150.40.350.1 它的期望
4、为E()00.1510.420.3530.11.4.1. 均值(1) 若离散型随机变量的分布列为：x1x2xnPp1p2pn则称E()x1p1x2p2xnpn为的均值或数学期望，简称期望(2) 离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平(3) 数学期望的性质E(c)c，E(ab)aEb(a、b、c为常数)2. 方差(1) 若离散型随机变量所有可能的取值是x1，x2，xn且这些值的概率分别是p1，p2，pn，则称：V()(x1E()2p1(x2E()2p2(xnE()2pn为的方差(2) ，叫标准差(3) 随机变量的方差反映了取值的稳定性(4) 方差的性质a、b为常数，则V(ab)a
5、2V.3. 若B(n，p)，则E()np，V()np(1p)4. 期望与方差的关系均值(期望)反映了随机变量取值的平均水平，而方差则表现了随机变量所取的值对于它的均值(期望)的集中与离散的程度，因此二者的关系是十分密切的，且有关系式V()E(2)(E()2.备课札记题型1离散型随机变量的期望例1已知离散型随机变量1的概率分布为11234567P离散型随机变量2的概率分布为23.73.83.944.14.24.3P求这两个随机变量数学期望、方差与标准差解：E(1)1274；V(1)(14)2(24)2(74)24，12.E(2)3.73.84.34；V(2)0.04，2)0.2.甲、乙两射手在同
6、一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2，0.6，0.2；射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4，0.2，0.4.用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平解：E180.290.6100.29，V(1)(89)20.2(99)20.6(109)20.20.4；同理有E(2)9，V(2)0.8.由上可知，E(1)E(2)，V(1)V(2)所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环的次数多些题型2离散型随机变量的方差与标准差例2某工艺厂开发一种新工艺品，头两天试
7、制中，该厂要求每位师傅每天制作10件，该厂质检部每天从每位师傅制作的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天该师傅的产品不能通过已知李师傅第一天、第二天制作的工艺品中分别有2件、1件次品(1) 求两天中李师傅的产品全部通过检查的概率；(2) 若厂内对师傅们制作的工艺品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分，求李师傅在这两天内得分的数学期望解：(1) 设李师傅产品第一天通过检查为事件A；第二天产品通过检查为事件B.则有P(A)，P(B)，由事件A、B独立， P(AB)P(A)P(B).答：李师傅这两天产品全部通过检查的概率为.(2) 记得分为，则的可能值
8、为0，1，2. P(0)；P(1)；P(2). E()012.答：李师傅在这两天内得分的数学期望为.一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止求在取得正品之前已取出次品数的期望解：设取得正品之前已取出的次品数为，显然所有可能取的值为0，1，2，3当0时，即第一次取得正品，试验停止，则P(0).当1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则P(1).当2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则P(2).当3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P(3).所以，E()0123.
9、题型3期望、方差的性质及应用例3某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数是一个随机变量，它的分布列为P(i)(i1，2，12)；设每售出一台电冰箱，电器商获利300元如销售不出，则每台每月需花保管费100元. 问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使月平均收益最大？解：设x为电器商每月初购进的冰箱的台数，依题意，只需考虑1x12的情况设电器商每月的收益为y元， 则y是随机变量的函数，且y于是电器商每月获益的平均数，即为数学期望Ey300x(PxPx1P12)300100(x1)P12300100(x2)P2(x1)300100Px1300x(12x1)(2x238x)因为xN*，所以
10、当x9或x10时， 数学期望最大故电器商每月初购进9或10台电冰箱时，月收益最大，最大收益为1500元 课后练习1. (2013广东)已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)_答案：解析：E(X)123.2. (2013湖北理)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值为E(X)_答案：解析：用分布列解决这个问题，根据题意易知X0，1，2，3.列表如下：X0123所以E(X)0123.3. (2013上海理)设非零常数d是等差数列x1，x2，x3，x19的公差，随机变量等可能地
11、取值x1，x2，x3，x19，则方差V()_答案：|d|解析：Ex10，V()|d|.4. (2013浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分(1) 当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量为取出此两球所得分数之和，求分布列；(2) 从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数若E()，V()，求abc.解：(1) 由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时2，此时P(2)；当两次摸到的球分别是黄黄、红蓝、蓝红时4时，P(4)；当两次摸到的球分别是红黄，黄红时3时，P(3)；当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时5时，P(5)；当两次摸到的球分别是蓝蓝时6时，P(6).所以的分布列为23456P(2) 由已知得到：有三种取值即1，2，3，所以的分布列为123P所以，所以b2c，a3c，所以abc321.
