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1、 对中小学生数学符号语言学习的难因分析 驻马店教师进修学校 郑琳欣数学课程标准指出：数学为其他学科提供了语言、思想、方法。数学具有的符号语言系统，包括最为简单的数学符号，也包括由现代的数理逻辑所发展起来的复杂的符号系统。中小学阶段，学生就开始接触并学习各类数学符号一 数学符号的分类数学符号语言是数学语言的一个重要组成部分，特定的数学符号代表特定的数学对象和数学关系.人们可以依据一定的标准对数学符号进行分类.1 概念符号 表征数的概念的符号,如24,0.25,-5.40%,4:5,e,i;表征代数概念的符号,如x,;表征区间的符号,如(-4,5,0,+;表征几何图形的符号,如A,ABC,RtAB
2、C,O, ABCD.2 关系符号 表征数的关系的符号,如2325,3”“n),符号“”表示一元二次方程ax+bx+c=0(a0)的根的判别式b-4ac;符号“max”、“min”分别表示最大值和最小值；符号“”、“”分别表示“因为”、“所以”；符号“”表示等价或充分必要条件.三 数学符号语言学习的难因分析 教师虽能准确无误地运用数学符号，却未必能全面认识数学符号；教师熟悉的数学符号对学生来说可能很陌生，学生学习数学符号并非像教师想象的那样轻松容易，学生在学习数学符号的过程中会存在许多困难,这些困难有其产生的客观背景,也有其主观因素.客观背景主要是源于数学符号的高度抽象性和复杂性,主观因素主要是
3、来自思维定势和学习心理心向的影响.数学符号学习的心理障碍主要有两种:情结障碍和学习的负迁移.数学符号学习的困难主要存在于表述数学符号、理解数学符号、书写数学符号3个主要环节上.1 表述数学符号的难因如果一个学生不知道如何表述数学符号,那么他就很难处理数学.正确表述数学符号是学习数学符号的第一步.(1)一个符号或一组符号需要复合表述例如,“”应读作“小于等于”；“”应读作“加减”或“正负”；“*”应读作“平行且等于”.(2)一个符号可用多种方式表述例如,“x-y=z”有以下读法:x减去y等于z,x与y的差是z,x比y大z,y比x小z.又如,“ab”有以下读法：a除以b、b除a、a与b的商.(3)
4、数学符号的表述并不总是从左到右例如,.(4)不恰当的表述容易产生误解 例如,“-x”读作“负x”,容易使学生产生“-x”一定表示负数的误解.2 理解数学符号的难因理解数学符号的困难主要有:(1)同一符号具有多种含义 例如,“”可理解为相反数符号(数的性质),减号(数的运算),负号(数的性质);(6,8)可理解为6和8的最大公约数,以6、8为端点的开区间,平面上以6为横坐标、8为纵坐标的点;表达式右上角的“-1”可理解为反函数(如f(x)或倒数(如2).(2)多种符号表示同一含义 例如,123,3,均表示12与3的商,34,34均表示3与4的乘积;C(n,r),C,()圴表示从n个元素中选取r个
5、元素的组合数.(3)含义隐含的符号 例如,3+;3x=3x;x=1x;x=x;a=1隐含着a0.(4)相同数字或字母组成的符号 例如,算术中3443,但代数中却有xy=yx;5.3和53;-3和(-3);和=2n.(5)表示特定意义的符号 由不同字母组成结构相同的表达式表征不同的内容.例如,a+b=c表示勾股定理,x+y=r表示平面上的以坐标原点为圆心、r为半径的圆,x+y=z表示三元二次不定方程.(6)表示同一对象的不同符号 例如,y=kx+b、by-y=m(x-x)、=1都表示直线方程，但y=kx+b表示斜率为k、在y轴上截距为b的直线方程,y-y=m(x-x)表示斜率为m且经过点(x,y
6、)的直线方程, =1表示在x轴上截距为a、在y轴上截距为b的直线方程.再如,y=ax+bx+c、y=a(x-b)+k、y=a(x-x)(x-x)都表示一元二次函数，但意义不同.3 书写数学符号的难因 书写数学符号的困难之一是在书写数学符号时内容易产生负迁移.例如,若k、x、y是实数,则k(x+y)=kx+ky,但对于函数f(x)来说未必有f(a+b)=f(a)+f(b),类似的错误还有(x+y)=x+y,sin(A+B)=sinA+sinB,log(m+n)=logm+logn,等等. 另一个困难在于,学生对同一数学对象的不同符号的价值不能充分认识,因而在面对具体问题情境时无法做出恰当的选择.
7、例如,y=a(x-h)+k求出函数的极值和对称轴,y=a(x-x)(x-x)容易求出函数图象与x轴的交点坐标,y=ax+bx+c容易求出函数与y轴的交点坐标,学生只有对以上不同的一元二次函数表达式的价值有充分 的认识,才能够根据所面临的问题情境作出恰当的选择.四 数学符号教学中应注意的问题 数学教学也就是数学语言的教学.数学符号又构成了数学语言最重要的组成部分.数学符号的学习对于数学学习有着重要而特殊的意义.数学符号教学过程中应注意以下几个问题.1 数学符号是一种高度抽象化、概括化和形式化的数学语言,而中小学生(尤其是小学生和初中学生)数学知识经验相对较少、抽象思维能力相对较低,学习数学符号并
8、不能像老师那样轻松,运用数学符号并不能像老师那样自如,而会存在许多困难和障碍.这就要求教师对学生学习数学符号存在的困难应该有充分、清醒的认识.2 数学教学中,教师应重视对数学符号涵义和实质的分析.数学符号主要作用之一就是用高度简约化的形式语言来表征具体的数学内容,教学中往往会出现学生知识表面化的现象,其根源在于数学学习中中内容与形式的脱节,实质就是简约化的数学符号与其所表征的数学内容的脱节.教学过程中,尤其是在学习一个数学符号起始阶段,教师应给数学符号赋于具体的内容.另外,只知道符号形式而不理解其涵义是造成负迁移的一个原因.例如,如果不理解三角符号sin(A+B)的涵义,类似于sin(A+B)
9、=sinA+sinB的错误就有可能发生.所以,教师还应帮助学生透过符号的形式结构,了解其本质内容.3 数学符号中有一类符号具有一定的内隐条件和隐含意义.例如,意指,且隐含着x0;4和4a结构类似,但隐含的意义却不同:4=4+,4工=4a;隐含着M0,N0,a0且a1;y=arcsinx隐含着|x|1;a=1隐含着a0等.对于数学符号的内隐条件和隐含意义,学生往往难以独立发现并引起注意.在数学教学中,教师应及时向学生揭示数学符号的内隐条件和隐含意义,并引起学生的注意和重视.4 数学符号因其具有相同的结构或元素而容易产生混淆.例如,a+b=c、x+y=r和x+y=z结构完全相同,但表示的内容却不相
10、同;a=2、a=n和a=2n组成元素完全相同,但表示的是不同的数学.所以,对某些容易混淆的数学符号,教师应明确指出它们的区别与联系.5 以上谈到,同一个数学符号可能具有多种含义,如“(6,8)”就具有三种含义,事实上给学生学习数学符号带来了困难.这就要求教师应结合学生已经具备的数学知识,向学生揭示同一个数学符号可能具有的含义.表示同一对象可用不同符号,如直线方程可用y=kx+b、y-y=1表示，圆的方程可用标准式(x-a)+(y-b)=r、一般式x+y+Dx+Ey+F=0表示,一元二次函数可用y=ax+bx+c、y=a(x-b)+k、y=a(x-x)(x-x)表示.在数学中,教师应通过具体问题,向学生说明表示同一对象的不同符号的潜在价值和意义,并且要得到学生的认同.教师还要告诫和提醒学生,理解和运用数学符号必须密切结合当前的教学内容和具体的问题情境.
