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1、第二节 瑞雷面波法自1887年英国学者瑞雷从理论上证明了瑞雷面波的存在以来，人们曾对面波的形成和传播特征做过许多研究，但长期以来，它却一直被认为是地震勘探中的一种干扰波，没有利用价值。上世纪六十年代开始，国外有人开始研究瑞雷面波的有效利用问题。到上世纪八十年代，瑞雷面波的传播特性及利用方面的研究成为世界工程地球物理勘探同行们的研究热点。目前，瑞雷面波勘探法在我国已经得到广泛应用，现在几乎国内外所有的浅层地震勘探仪都配有瑞雷面波勘探的功能。尽管其应用已经如此广泛，但瑞雷面波勘探的理论问题、仪器问题和处理解释问题还并没有得到很好的解决。也就是说，瑞雷面波勘探在技术及理论方面还有大量的工作要做。21
2、面波勘探的基本原理2.1.1均匀半空间瑞雷面波的形成地表震源不仅激发纵波和横波，同时由于纵波和横波的相互干涉叠加，会出现波形的转换，使地下介质质点按一定的轨迹运动，形成一种新的、能量很强且主要集中在地表附近的波动。由于这种波是1887年由瑞雷从数学上证明其存在的，故称为瑞雷面波。关于瑞雷波的推导如下：条件：自由界面以下为半无限均匀弹性介质，介质的弹性常数为和，密度为，、轴取在自由表面上，轴垂直向下。设瑞雷波速为，在平面内沿轴方向传播，在轴方向的振幅和相位完全相同，及只讨论平面二维情况。令其势函数为： 和分别满足下列波动方程： 将、代入上式，可得： 其中，。上式的解为： 式中：，。由边界条件：得
3、：，。于是有： 在自由界面，其边界条件是正应力和切应力为零。即： 其中，、是位移分量： 弹性常数、与介质密度及纵、横波的关系分别为： 将这些代入边界条件方程,通过简化可得： 将和代入上两式化简可得： 根据、的定义，最后得到： 若要、不为零，则上式的系数行列式应为零，即： 上式即为瑞雷方程。令： ; 代入上式得： 整理得： 令，上式左边10，令，则上式左边。因此，该方程在之间至少有一个得实根。也就是： 1或： 亦即：。由此可见，面波速度既小于纵波速度,也小于横波速度。一般岩石的泊松比为0.25，此时，代入上方程有： 或： 此方程的根为：；这3个根中，只有才满足1的要求，其它两个根应舍去。由有：
4、或： 可见，在均匀弹性半空间存在的这个沿自由表面传播的波，其速度略小于横波速度，振幅随着离开自由表面的距离的增加而衰减，这就是面波。2.1.2瑞雷面波的传播特征1、瑞雷面波的质点振动将式（）代入式（）并利用式（）消去可得： 取其实部： 上式为瑞雷面波的位移表达式。当时，即在和方向的位移都为零，这说明瑞雷面波的分布深度是有限的。当介质为泊松体时，将式（）代入（）得： 当时，即在自由表面上： 其中，。将上两式平方后相加并整理得： 上式为椭圆方程。这表明在自由表面附近沿波传播方向得垂直平面内，瑞雷面波质点运动得轨迹是椭圆，椭圆的水平轴与垂直轴之比约为，且质点的垂直位移比水平位移相位超前。当介质的泊松
5、比为0.25时，根据式（）可以计算出水平位移和垂直位移的振幅随深度的变化，如图（61）所示。从图中可以看出，当0.193时，和的振幅的符号相同，两者合成之后形成的质点运动轨迹为一逆时针方向转动的椭圆；当0.193时，两者符号不同，质点运动轨迹为顺时针转动的椭圆。质点振动轨迹和振幅随单位波长深度的变化规律如图（62）所示。2、瑞雷面波穿透深度与波长的关系图（63）为根据式（）计算出的面波质点水平位移和垂直位移的振幅随深度变化的曲线。从图中可以看到，当泊松比从0.1增大到0.5时，水平和垂直位移的振幅也随之增大。这说明介质的泊松比越大，则转换为面波的能量就越多；对于不同的介质，随着深度的增大，面波
6、的水平和垂直位移的振幅达到极大值后迅速降低，其主要能量均集中在1的深度范围内。由此认为，面波的穿透深度约为一个波长。从图（63）还可以看到，当深度为波长的一半时，面波的能量较强，当与相当时，其能量迅速衰减。因此，某一波长的面波速度主要与深度小于的地层物性有关，该特性为利用面波进行浅层勘探的定量解释提供了依据。通常认为，面波的勘探深度约为半个波长。3、瑞雷面波与横波速度和泊松比的关系式（）可以写为： 或： 横波和纵波的速度比为： 代入上式整理得： 据此式可解出在均匀各向同性介质中传播的面波速度、横波速度与泊松比之间的关系为： 当泊松比变化时，横波速度与面波速度之间的关系见下表，纵波速度、横波速度
7、随泊松比的变化如图（64）所示。从图（64）中可以看出，随着接近0.5，与趋于同一值。一般来说，固结岩石的为0.25，土层的为0.450.49之间。因此对于土体而言，可认为与大致相等。从这一点出发，在进行土体勘探时，可根据面波速度得到横波速度，两者的误差约为5左右。4、瑞雷面波的衰减纵波、横波的波前面相对激发点呈球面扩散，而瑞雷波的波前面呈柱面扩散。所以，其能量密度衰减较小。瑞雷波沿深度方向衰减快，仅存在于大约一个波长的深度内，而沿水平方向的能量密度随着传播距离按衰减，这比球面波扩散的体波能量密度按衰减要小得多。另外，研究证实，在弹性半空间表面上，通过圆形垫向下加一个垂向振动力，能量从震源向下
8、辐射，约有2/3的能量会转化为瑞雷波，只有1/3的能量由体波携带，这是利用面波进行勘探的有利条件。2.1.3层状介质中的瑞雷面波在层状介质条件下，可以寻求一个面波的解析解。对于多层弹性半空间而言，如均匀弹性半空间一样，瑞雷面波仍在平面内传播。在这样的条件下，在自由表面上，仍有两个边界条件：垂直应力和水平应力为零；在两种介质的分界面处的边界条件为：垂直位移和水平位移连续，垂直应力和水平应力分量也连续，因此有四个边界条件。多于层介质，计算面波的传播问题共有个边界条件，即有个齐次联立方程。为简单计，现以一个简单的两层半空间问题为例。同样，取势函数为： 假设介质的自由表面之上有一非弹性覆盖层，并设覆盖
9、层的厚度可以忽略，坐标取法如图（65）所示。在这样的条件下，由于覆盖层的影响，该分界面上法向应力不再等于零，而是等于，切向应力仍然等于零（因为覆盖层是非弹性物质）。这时的边界条件为： 边界条件进而可写成： 将、代入上式并化简得： 令这一方程组的系数行列式等于零，得： 由上式可以看出，此时面波速度的解与频率有关，即面波速度具有频散。所谓速度频散，是指谐波传播的速度随频率的变化而变化。在瑞雷波的位移表达式中，有因子，这假定瑞雷波是谐波，而是谐波同相面的传播速度，称之为相速度，用表示之。实际上，地震波是由许多不同频率、不同振幅的谐波叠加而成，各谐波按其各自的相速度传播，叠加而成的波列的包络线的传播速
10、度称为群速度，用表示之。实际上，地震波的群速度就是地震波能量的传播速度。在物理学中，相速度和群速度的关系为： 相速度和群速度的关系如图（66）所示。由可知，不同的面波波长对应于不同的频率。因此，通过测量不同频率下介质的面波速度，便可以了解不同深度的介质的面波速度。2.1.4面波的基阶模态和高阶模态层状介质中的面波不仅有速度频散现象，还具有各种模态。因此，在层状介质条件下已不再是狭义的瑞雷面波。为简单起见，以乐甫面波为例来说明模态的概念。乐甫面波是一种型的面波，其质点振动方向与地表平行且垂直于波的传播方向，因此在界面上只有型的应力。设在均匀弹性半空间上覆盖一弹性层，层厚度为。令、轴在自由表面上，
11、轴垂直向下为正。乐甫面波为沿轴方向传播的平面波，质点的振动沿轴方向，在轴方向的振幅和相位完全相同。乐甫面波的传播应满足横波方程。仿照前面推导瑞雷面波表达式的方法，可得到两种介质中的位移为： 其中，；、为待定系数。边界条件：自由表面应力为零；分界面处应力和位移连续。即： 将、代入此边界条件，化简后消去得： 上两式中，、不全为零，故其系数行列式必为零。解之得： 因为对所有的实数，皆为正值，故上式成立的条件必须是取双曲正切的变量为虚数，将写成： （因为）由此，上式化为： 或： 上式就是乐甫波得频散方程。它确定、三者中任何两个之间的隐含关系，即说明乐甫面波的速度与频率有关，也就是说，乐甫面波同样具有频
12、散效应。由于频散效应，使得脉冲型的波在传播一段距离之后会散成波列。上述频散方程的解为： 图（67）是该解的图解。在图（）中，式（）的左端用实线表示，右端用虚线表示，两条曲线的交点即为式（）的解。从图（67）中可见，的实根限定在与之间。即： 在式（）中，每一个对应一种乐甫面波，当时，称为基阶模态乐甫面波，对应的波数记为，当0时，称为高阶模态乐甫面波，对应的波数记为。对某一给定的，面波的模态为有限个。图（68）为基阶模态和紧邻的三个高阶模态的相速度随频率变化示意图。对于瑞雷面波，也同样存在多阶模态的问题。图（69）为实测面波地震记录的波数频率图，并标出某一频率（17.94赫兹）所对应的高阶面波和基阶面波的相速度。 图（610）是地面激发，在10480米范围内接收的具有不同模态的面波记录。记录中为部分折射波或反射波；为高模波；为基模波。不同模态的面波，其能量的大小和地层的速度结构有关。将不同模态的面波分开的方法是在远离震源处布置检波器排列，因为不同模态的面波以不同的相速度传播，在远距离处有较大的到达时间差。理论和试验研究表明，高模式面波具有很多有点，目前很多人还没有注意到这一点。甚至有人认为，高模式面波的存在加大了基阶面波
