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1、数值计算上机试题数值分析上机报告指导教师：薛长虹姓名：陈川学号： 12021035专业：机械设计及理论学院：机械工程学院联系电话： 139*2012.12.17目录前言 (2)上机题目1 插值类方法解决函数问题 (3)1、题目 (3)2、题目分析 (4)3、结果分析 (9)上机题目2 松弛因子对SOR法收敛速度的影响 (10)1、题目. . (10)2、题目分析 (10)3、结果分析 (10)上机题目3 Runge-Kutta 4阶算法 (12)1、题目 (12)2、题目分析 (12)3、结果分析 (13)小结 (14)附录 (15)1、插值问题程序代码 (15)2、松弛因子对SOR法收敛速度
2、的影响程序代码 (18)3、Runge-Kutta 4阶算法程序代码 (19)前言随着计算机技术的迅速发展，数值方法在工程技术领域中的应用越来越广泛，已成为数学与计算机之间的桥梁。常用的计算机语言有VB、VC等，科学软件有MATLAB、Mathematica、Maple等。MATLAB的名称源自Matrix Laboratory,它是一种科学计算软件，专门以矩阵的形式处理数据，将高性能的数值计算和可视化集成在一起，并提供大量的内置函数，从而被广泛的应用于科学计算、控制系统、信息处理等领域的分析、仿真和设计工作。MATLAB的主要优势和特点主要有以下方面：1. 友好的工作平台和编程环境；2. 简
3、单易用的编程语言；3. 强大的科学计算机数据处理能力；4. 出色的图形处理功能；5. 应用广泛的模块集合工具箱；6. 实用的程序接口和发布平台。鉴于MATLAB的强大功能和优势，本上机题目使用MATLAB软件，并使用它提供的M语言编写脚本和函数文件实现算法。上机题目1 1、题目1、已知：a= -5,b=5, 以下是某函数 f(x)的一些点（xk ,yk）, 其中x k =a+0.1(k-1) ,k=1,.,101 ,xk=a+0.1k，请用插值类方法给出函数f(x)的一个解决方案和具体结果。并通过实验考虑下列问题:（1）Ln(x)的次数n越高，逼近f(x)的程度越好？（2）高次插值收敛性如何？
4、（3）如何选择等距插值多项式次数？（4）若要精度增高，你有什么想法？比如一定用插值吗？（5）逼近某个函数不用插值方式，有何变通之举？（6）函数之间的误差如何度量，逼近的标准又是什么？（7）如何比较好的使用插值多项式呢？xk=-5.0000 -4.9000 -4.8000 -4.7000 -4.6000 -4.5000 -4.4000-4.3000 -4.2000 -4.1000 -4.0000 -3.9000 -3.8000 -3.7000-3.6000 -3.5000 -3.4000 -3.3000 -3.2000 -3.1000 -3.0000-2.9000 -2.8000 -2.7000
5、 -2.6000 -2.5000 -2.4000 -2.3000-2.2000 -2.1000 -2.0000 -1.9000 -1.8000 -1.7000 -1.6000-1.5000 -1.4000 -1.3000 -1.2000 -1.1000 -1.0000 -0.9000-0.8000 -0.7000 -0.6000 -0.5000 -0.4000 -0.3000 -0.2000-0.1000 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.50000.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 1.1000 1.20001.3000 1.40
6、00 1.5000 1.6000 1.7000 1.8000 1.90002.0000 2.1000 2.2000 2.3000 2.4000 2.5000 2.60002.7000 2.8000 2.90003.0000 3.1000 3.2000 3.30003.4000 3.5000 3.6000 3.7000 3.8000 3.90004.00004.1000 4.2000 4.3000 4.4000 4.5000 4.6000 4.70004.8000 4.90005.0000y(x k)=y k=25.0000 24.0100 23.0400 22.0900 21.1600 20.
7、2500 19.360018.4900 17.6400 16.8100 16.0000 15.2100 14.4400 13.690012.9600 12.2500 11.5600 10.8899 10.2397 9.6093 8.99918.4092 7.8405 7.2941 6.7705 6.2693 5.7866 5.31444.8403 4.3522 3.8463 3.3402 2.8832 2.5554 2.44752.61543.0219 3.4920 3.7149 3.3232 2.0435 -0.1277-2.8066 -5.2470 -6.5469 -5.9893 -3.3
8、862 0.7365 5.23128.6985 10.0000 8.6985 5.2312 0.7365 -3.3862 -5.9893-6.5469 -5.2470 -2.8066 -0.1277 2.0435 3.3232 3.71493.4920 3.0219 2.6154 2.4475 2.5554 2.8832 3.34023.84634.3522 4.84035.3144 5.78666.2693 6.77057.2941 7.8405 8.4092 8.9991 9.6093 10.2397 10.889911.5600 12.2500 12.9600 13.6900 14.44
9、00 15.2100 16.000016.8100 17.6400 18.4900 19.3600 20.2500 21.1600 22.090023.0400 24.0100 25.00002、题目分析首先将数据导入到MATLAB工作空间中，生成所计算数据（如上）及画图表示（图1），因图形关于Y轴对称，故可只截取0X5的数据进行处理。生成数据x0.mat与y0.mat，分别对应Xk、Yk截取后的数据。图1 原始数据点连线图建立评价插值的评价函数，因为插值点较多（取一半数据也有51个数据点），直接采用高阶插值不能保证数据收敛，所以采用等距采样数据点（因为要保证插值点的坐标，所以每次取值点是与绝
10、对等距点最近的点）进行插值获取多项式，?进然后在51个已知数据点进行插值，通过原始数据与插值获得数据的差向量Y行评价比较优劣，同时解决如何选择等距插值多项式的次数问题。又因为通过相同数据点的插值多项式具有唯一性，所以等距插值次数的选择与LANGRANGE 插值次数的选择一样，所以才用LANGRANGE插值结果进行评价。同时要注意，?的范数比较插理论上当插值点增多，所得多项式通过的已知点越多，再根据Y值的优劣偏差很大，需要另外建立评价指标。但根据运行结果可见，当插值次数增大到一定程度时，由于Runge现象，由图像即可看出再增大插值次数，结果?的2-范数辅以插值前后的直观图像。从2个插值会更差，所
11、以评价指标采用Y?的2-范数结果列表如下：点开始，依次增加插值次数，将各个运行所得的Y表1 2-9次Langrange插值后已知数据与插值数据向量差的2-范数2 3 4 5 6 7 8 9插值次数?2Y71.6543 30.1720 23.4919 24.8954 20.2781 11.5573 16.2659 24.4780 范数 图2 29阶Langrange 插值图及2范数值Langrange 插值并不是插值次数越高，逼近效果越好。由图像可明显看出，插值次数为7时插值效果最好；当插值次数为8时，即出现Runge 想象。由前面插值的图像可以观测到，当插值次数大于4时，获得的多项式即能较准确
12、的描述2,5之间的数据关系，而且当插值次数较大时，再端点5附近反而出现Runge 现象，降低了插值效果。由图像可知，图像可以分成4段比较平滑的区域，适合低阶多项式拟合，所以下面采用分段插值： 图3分段示意图经分段插值，因每段数据量减少，再根据差向量的2-范数评价，误差很大，所以采用绘图方式直观评价，插值后各段图形如下图：( a )第一段（4阶）( b )第二段（4阶）( c )第三段（4阶）( d )第四段（3阶）图4 分段插值逼近图以上是对数据点的插值方法，这种方法的优点是在所给的插值点（插值用到的点）上没有误差，所以这种方法只有当初始数据足够精确时，插值的误差才可能足够小，满足误差要求。但
13、若初始数据含有误差时，往往并不需要所得多项式通过插值点，而是要根据插值点反映出的多项式弯曲关系构造多项式，评价指标则采用在所有插值点偏差向量的2-范数来衡量（上部分的插值就利用此衡量方法）。从线性插值开始依次增大阶次，获得的拟合图形及2-范数如下：表2 多项式拟合后已知数据与拟合数据向量差的2-范数3、结果分析（1）并不是插值次数越高，逼近效果越好，高次插值会出现龙格（Runge）现象，反而低插值效果；（2）对于Langrange插值，高次插值收敛性明显下降；（3）由上面整体插值效果可以看出，Runge现象明显降低插值效果，所以我认为插值多项式次数以不出想Runge现象时越高越好；（4）要提高
14、精度，至少有两种选择：一是进行分段插值，这要求原始数据越准确越好；二是进行拟合，尤其对于原始数据存在误差时效果更好；（5）可以采用拟合方法（6）函数之间的误差度量：对于本题数据量较大，所以才用将逼近的多项式在已知点横坐标处取值，之后与原始已知的纵坐标进行比较，具体是采用差向量的2-范数进行评价，2-范数值越低，认为逼近效果越好。（7）对于本题数据量较大，经绘图发现，低阶的分段插值效果明显优于高阶的整体插值，同时，分段插值时最好每段数据都比较平滑，由多项式的性质也可知道，这样比较低阶的多项式就能教快较好的逼近。上机题目21、题目松弛因子对SOR 法收敛速度的影响。用SOR 法求解方程组Ax =b
15、 ,其中：? ?=? ?-3-2-.2-2-3-B 4114114114,. 要求程序中不存系数矩阵A ,分别对不同的阶数取w=1.1, 1.2, .,1.9进行迭代，记录近似解x (k)达到|x (k)-x (k-1)|2、题目分析方程组的精确解为x*=（1,1,1）T ，取x(0)=0进行迭代。这里分别取阶数n=3，4，5，6，最大迭代次数为1000，进行求解。精度要求取的2-范数。得到结果如表1所示：表1 不同阶数、不同松弛因子的迭代次数3、结果分析从表中可以看出，随着松弛因子增大，迭代次数增多，即收敛速度减慢；另外，对于w0或w2，不管阶数如何，迭代次数都达到上限，因此，此时SOR法发散。上机题目3
