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1、初一数学比赛讲座第6讲图形与面积一、直线图形的面积在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法，数学比赛中的面积问题不仅拥有直观性，并且变换精良，妙趣横生，对开发智力、发展能力特别有利。图形的面积是图形所占平面部分的大小的胸襟。它有以下两条性质：1两个可以完整重合的图形的面积相等；2图形被分成若干部分时，各部分面积之和等于图形的面积。对图形面积的计算，一些主要的面积公式应当熟记。如：正方形面积=边长边长；矩形面积=长宽；平行四边形面积=底高；三角形面积=底高2；梯形面积=（上底+下底）高2。其他，以下事实也特别实用，它对提升解题速度特别有利。1等腰三角形底边上的高线均分三角形面积；2三角形
2、一边上的中线均分这个三角形的面积；3平行四边形的对角线均分它的面积；4等底等高的两个三角形面积相等。解决图形面积的主要方法有：1观察图形，解析图形，找出图形中所包括的基本图形；2对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或地址（叫做等积变形）；3作出合适的辅助线，铺路搭桥，沟通联系；4把图形进行割补（叫做割补法）。例1你会用几种不一样的方法把一个三角形的面积均匀分成4等份吗？解：最简单想到的是将ABC的底边4均分，如左以下图构成4个小三角形，面积都为本来的三14其他，先将三角形ABC的面积2均分（如右上图），即取BC的中点D，连接AD，则SABD=SADC，而后再将这两个小三角形分别2均分
3、，分得的4个小三角形各自的面积为本来大三角形面积的1。还4有好多方法，以下边的三种。请你再想出几种不一样的方法。例2右图中每个小方格面积都是1cm2，那么六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？解析：解决这种问题常用割补法，把图形分成几个简单的简单求出头积的图形，分别求出头积。也可以求出六边形外空白处的面积，从总面积中减去空白处的面积，就是六边形的面积。解法1：把六边形分成6块： ABC，AGF，PEF，EKD，CDH和正方形GHKP。用S表示三角形面积，如用SABC表示ABC的面积。故六边形ABCDEF的面积等于6+2+1+1+4+9=221(cm2)22说明：当某些图形的面积不简单直接计算
4、时，可以把这个图形分成几个部分，计算各部分的面积，而后相加，也就是说，可以化整为零。解法2：先求出大正方形MNRQ的面积为66=36（cm2）。说明：当某些图形的面积不易直接计算时，可以先求出一个比它更大的图形的面积，再减去比原图形多的那些（个）图形的面积，也就是说，先多算一点，再把多算的部分减去。解法3：六边形面积等于SABC+S梯形ACDF-SDEF=621+（3+6）41-311=6+18-11=221(cm2)22222说明：“横看作岭侧成峰，远近高低各不一样”，从不一样的角度去观察同一个图形，会对图形产生不一样的认识。一种新的认识的产生常常会陪同着一种新的解法。做题时多想想，解法就会
5、多起来，这对锻炼我们的观察能力与思虑能力大有好处。例3以以下图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块，22DEF的面积是4cm，CED的面积是6cm。问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？解：以以下图，连接BF。则BDF与CFD面积相等，减去共同的部分DEF，可得BEF与CED面积相等，等于6cm2。四边形ABEF的面积等于SABD-SDEF=SBDC-SDEF=SBCE+SCDE-SDEF=9+6-4=11（cm2）。问：两块红色图形的面积和与两块蓝色图形的面积和，哪个大？解析：只需比较ACE与BDF面积的大小。因为ACE与BDF的高相等（都是CD），所以只需比较两个三角形的底AE与BF
6、的大小。因为ACE与BDF高相等，所以SACESBDF。减去中间空白的小四边形面积，推知两块红色图形的面积和大于两块蓝色图形的面积和。例5在四边形ABCD中（见左以下图），线段BC长6cm，ABC为直角，BCD为135，并且点A到边CD的垂线段AE的长为12cm，线段ED的长为5cm，求四边形ABCD的面积。解：延长AB，DC订交于F（见右上图），则BCF=45，FBC=90，从而BFC=45。因为BFC=BCF，所以BF=BC=6（cm）。在RtAEF中，AFE=45，所以FAE=90-45=45，从而EF=AE=12（cm）。故S四边形ABCD=SADF-SBCF=102-18=84（cm
7、2）。说明：假如一个图形的面积不易直接求出来，可依据图形的特色和题设条件的特色，添补合适的图形，使它成为一个新的易求出头积的图形，然后利用新图形面积减去所添加图形的面积，求出原图形面积。这种利用“补形法”求图形面积的问题在国内外初中、小学数学比赛中已层见迭出。例6正六边形ABCDEF的面积是6cm2，M，N，P分别是所在边的中点（如上图）。问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？解法1：如左以下图，将正六边形分成6个面积为正1cm2的正三角形，将其他三个面积为1cm2的正三角形分别拼在边BC，DE，AF外面，获取一个大的正三角形XYZ，其面积是9cm2。这时，M，N，P分别是边ZX，YZ，Xy的
8、中点，推知解法2：如右上图，将正六边形分成6个面积为1cm的正三角形，再取它们各边的中点2将每个正三角形分为4个面积为1的小正三角形。于是正六边形ABCDEF被分成了24个面积1411为的小正三角形。因为MNP由9个面积为的小正三角形所构成，所以9=2.25S=44MNP42（cm）二、圆与组合图形以上我们谈论了有关直线图形面积计算的各样方法。此刻我们连续谈论涉及圆的面积计算。1圆的周长与面积计算圆的周长与面积，有的直接利用公式计算，有的需要经过观察解析后灵巧运用公式计算。主要公式有：（ 1）圆的周长=直径=2半径，即C=d=2r；（ 2）中心角为n的弧的长度=n（半径）180，即1=nr18
9、0（ 3）圆的面积=（半径）2，即S=r2；2（4）中心角为n的扇形面积=n（半径）2360，即Snr1lr3602例7右图是三个半圆（单位：cm），其暗影部分的周长是多少？解：由图可知，暗影部分是由三个直径不一样的半圆周所围成，所以其周长为说明：实质上，该图形中两个小半圆的直径之和等于大多数圆的直径，因此它们的周长也正好等于大多数圆的半圆周。推而广之，若n个小圆的直径之和等于大圆的直径，即：d1+d2+d3+dn=D，那么这些小圆的周长之和也等于大圆的周长，即 d1+d2+d3+dn=（d1+d2+d3+dn）=D。例8某开发区的大口号牌上，要画出以以下图所示（图形暗影部分）的三种标点符号：
10、句号、逗号、问号。已知大圆半径为R，小圆半径为r，且R=2r。若均匀用料，则哪一个标点符号的油漆用得多？哪一个标点符号的油漆用得少？解析：在均匀用料的情况下，油漆用量多少问题可转变成暗影部分的面积大小问题。此刻涉及到的基本图形是圆，弄清暗影部分如何由大小圆切割、组合而成，是解该题的要点点和打破口。解：因为S句号=S大圆-S小圆=R2-r2=（2r）2-r2=3r2说明：留意我们的平常生活，不一样于课本的“特别规”问题随处可见，如何把“特别规”问题转变成或近似地转变成“老例”数学问题，需要认真观察、踊跃思虑，观察转变的可能性和转变的门路。像上例那样，认真解析图形的特色和课本图形的基本关系，进一步
11、商讨能否由基本图形切割而成、组合而成。2圆与组合图形在平常生活中，除了常常遇到直线型（如矩形、正方形、三角形、梯形等）以及曲线型（如圆、扇形等）的面积外，还常常遇到不一样形状图形叠加而成的组合图形的面积问题。组合图形的面积计算，可以依据几何图形的特色，经过切割、割补、平移、翻折、对称、旋转等方法，化复杂为简单，变组合图形为基本图形的加减组合。例9以下图中，ABCD是边长为a的正方形，分别以AB，BC，CD，DA为直径画半圆。求这四个半圆弧所围成的暗影部分的面积。解：图中暗影部分是由四个半圆的重叠部分构成的，这四个半圆的直径围成一个正方形。明显，这四个半圆的面积之和大于正方形的面积，二者的差就是
12、暗影部分的面积。所以，我们就获取以下的算式：说明：此例除了用上边的解法外，还可以采纳列方程解应用题的方法来解。如题图，设x和y分别表示相应部分的面积，由图看出例10如左以下图所示，平行四边形的长边是6cm，短边是3cm，高是2.6cm，求图中暗影部分的面积。解析：本题的图形比较复杂，我们可以先计算暗影部分的一半（见右上图）。我们的目标是把图形分解成若干基本图形的组合或叠合。本题中的基本图形就是大、小两种扇形，以及平行四边形。认真观察后得出结论：右上图中的暗影部分等于说明：求一个不规则图形的面积，要想法找出它与规则图形面积的关系，化不规则为规则。例11求右图中暗影部分的面积（单位：cm）。解析与解：本题可以采纳一般方法，也就是分别计算两块暗影部分面积，再加起来，但不如整体考虑好。我们可以运用翻折的方法，将左上角一块暗影部分（弓形）翻折到半圆的右上角（以以下图中虚线为折痕），把两块暗影部分合在一起，构成一个梯形（如右图所示），这样计算就很简单。本题也可看做将左上角的弓形绕圆心旋转90，到达右上角，获取相同的一个梯形。说明：当某些图形的面积不易直接计算时，可以把这个图形的各个部分合适拼接成一个易于直接计算的图形。也就是说，可以化零为整。上述解法运用翻折（或旋转）的方法达到了化零为整的目的。例12已知右图中正方形的面积是12cm，求
