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1、多元函数微分法讲义第十章 多元函数微分学10.1多元函数：一、平面点集1、定义：把全体有序实数对组成的集合，称为二维空间，记为（或），（实际上这里的二维空间的概念就是解析几何中的二维空间概念）。下面我们看一看这里的二维空间有一个什么样的几何意义，显然都唯一对应着直角坐标平面的一个点，反之然，中的有序数对与直角平面上的点是一一对应的，它们的本质是一样的，可以不加区别，所以：可以把看成直角坐标平面，坐标平面也可以看成是二维空间，以后把叫点的坐标，而把看成是平面全体点的集合.2、平面上两点的距离（由解析几何知：）：设中的两点，则称叫P1与P2两点间的距离.有叫三角不等式.请同学们回忆：数轴上邻域的概
2、念（一维空间的领域）：3、定义2：设，以点为中心，为半径的全体点组成的集合：叫以点为中心，为半径的圆形领域记为：即从几何上看：圆形领域就是平面上的一个开圆：讨论：集合表示一个什么图形？以为中心，为边长的开矩形的全体点组成的集合叫以为中心的半径的方形邻域.圆中有方，方中有圆，方形领域与圆形领域是等价的.以后在证明题目时，可以取圆形领域，也可以取方形领域，都一样.把圆形领域和方形领域统称为为心，为半径的领域，记为.去掉邻域中心后的集合叫去心领域，记为.讨论：去心领域怎样表示：圆形去心领域，方形去心领域：当不需指出半径时，领域可简写为有了领域的概念后，就可以定义两个特殊的概念：开区域和闭区域。3、定
3、义3：设是平面点集，是平面上一点。1）若，有，则称是的内点。2）若，内既含有中的点，同时又含有不属于的点，则称是的界点，并把全体界点组成的集合叫点集的边界.1）讨论：的内点和界点的区别在哪里？内点是，存在一个正数，使以为中心为半径的领域完全包含在中，若有中的点同时也有不属于的点就是界点讨论：下面点是内点还是界点，为什么？2）的界点有多少个？都属于吗？的边界是否属于？（）（2）（1）3）若，领域内含有的无限多个点，则称点叫的聚点，（讨论如上图，内点是不是聚点？界点呢？（不一定！）聚点是否一定属于？）4）若，使，则称是有界点集，否则叫无界点集。讨论：下面点集是有界点集还不是无界点集？1）2）第一象
4、限：3）4、定义：设是平面点集：（开、闭区域统称为区域）1）若的任意点都是的内点，且的任意两点都能用属于的折线连接起来（称的连通性）则称是开区域。（如上图）2）由开区域和它的边界构成的区域G的闭区域。讨论：下列点集是不是开或闭区域。并指出它的有界性和内点、聚点和界点。1）（开区域，有界）2）3）4）（闭区域，无界）5）（不是区域（？没有内点；只有界点集）6）（是区域的边是，表示抛物线下方全体点组成的点集，不含边界）5、有界区域的直径：设是有界区域，把叫有界区域的直径，记为：.讨论：下列点集的直径（）？1） 2）长方形：3） 是无界区域（没有直径）4）,.注：上面的定义及定理（概念）可以推扩到n
5、维空间上去.例：描绘下列点集，并指出开、闭性，有界性，聚点、界点及边界。2）3）1）解：1）是二维空间的点集，点集的边界是（是无界闭区域）2）是二维空间的点集，边界是曲面，是椭球内部的点，不含托球面上的点，是有界开区域.3）是的点集，边界是三个坐标面及平面，是这四个面围成的四面体的全体点，是有界闭区域。作业1521、5二 多元函数1. 二元函数定义：设是二维空间的非空子集，若，按某一对应法则，都唯一的对应着一个实数，则称对应法则是定义在上的一个二元函数记为，。把叫的定义域，全体函数值组成立集合：叫函数的值域。例如：是定义在闭圆的一个二元函数。2. 二元函数的图像设二元函数的定义域为，显然是是平
6、面上的一个点集。，都对应着一个函数值，于是就确定了中的一个点，当在中变化时，就得到了中的若干个点，把这些点组成的集合叫函数的图象。一般地二元函数的图象是中的一块曲面。例：判别下列函数的图象是什么图形1）（）闭圆上的上半球。2）， ，是在三个轴上截距为的一个平面。当自变量是三个时，叫三元函数，是个时叫元函数（见P144定义），. 把二元和二元以上的函数叫多元函数。为什么要把函数分为一元和多元呢？因为一元函数过渡到二元函数时，有些性质要发生变化，但从二元过渡到三、多元函数时，性质就完全一样了.我们知道二元函数的定义域是中的一个点集，其图象是的一块曲面（一般情况下）三元函数的的定义域是的一个一个立体
7、，而函数的图象是的一个点集，没有同和何模型.例：求下列多元函数的定义域，并指出定义域所表示的图形，1）2） 3）解：1）定义域是上以为边界（不包含边界）的半平面2）是上以为中心1与2为半径的闭圆环。3）是上以球面为边界的开球体。例：已知求作业：1439, 10, 11, 123. 二元函数的极限在一元函数中，是指当在X轴上，从的两侧以任意方式趋于时，都超于，用“”语言来描述，。那么二元函数的极限又怎样呢？设是的定义域D的一个聚点。A是一个常数。二元函数的自变量的变化范围不再只是轴上的一个区间，而是平面的一个平面区域.所以二元函数的极限应该是：当动点以任意路径和任何方式(其趋于的路线可以是直线，
8、抛物线或任意曲线)都有：，这时把A叫二元函数当时的极限记为，又，上面的极限又可改写成：上面根据只是一种形象的描述，下面定出严格中的“”定义。（1）二重极限定义：设函数在区域的有定义，是的聚点，是常数.若，则称函数在点二重极限是.因为：上面定义又可写成：定义：设定义在点集上，是D的聚点，是常数.若则称函数在存在极限A，记为.1）解释定义的义意：，当点一旦入进了以为心的的去心邻域，函数在点的函数值与A的着的绝对值就小于.2）上面定义可写为：例：用“”定义证明：1）1）分析：用定义证明二元函数的极限的方法与一元函数完全一定：首先后有.可先由解出一个含与的不等式，通过观察可找出.证明：1）（本题领域是
9、，要想办法在绝对值中找出），就有。2）分析：（要通过不等式向右方放大，消去，这须把点限制在的某一个邻域里找出它们的界即可. （把限制在以点的“”领域中），证明：取，限制：，要使成立，只要取即可.讨论1：限制的目的是什么？半径不取，可不可？例：证明：函数，在原点（0,0）的极限是0.讨论：函数在原点（0,0）有没有定义。（没有！）证明：0,（分两种情况讨论。？当进入以（0,0）为心的领域时，函数值有两种情况）；1）当时，显然都2）当 ， 综上所述：从本题看到在（0,0）无定义，但存在极限，函数在点P0的极限与在点P是否有定义无关。讨论2：当沿一条固定的路径，趋于：时，能不能说在存在极限？（不能）
10、。例：证明在原点（0,0）不存在极限分析：极限定义的意思是：不管点以什么方式和什么路径超时于时，都有，因此要证在不存在极限，只须证明，当沿两条不同的路径超于时，超于不同的两个数；或沿某一条路径不存在极限不存在即可。（可通过观察取两条特殊路径证之）.证明：当动点沿直线趋于点时有： 。当动点沿抛物线趋于（0,0）时。在点（0,0）不存在极限。课堂作业：证明：在（0,0）不存极限。取路径：1）；2）作业：P1551, 3, 4前面我们讲了时的极限概念，下面对这个概念加以扩展，在一元函数有：，类似的定义：1）：2）：3）：上面我们讲的二元函数的二重极限在本质上是：是两个互不相关的，互相独立的变量，当它
11、们以独立的，任意方式同时，时，都有，就称A是在点的二元函数的二重极限（即：极限）.二重极限的性质和有关定理与一元函数的极限相似，略：下面讲一种新的极限：二次累次极限（2） 二次累次极限：（1）若当时（看作常数），函数存在极限，设，且当时，存在极限：，则称B叫在点先后的二次累次极限：，（1）若当时（看作常数），函数存在极限，设，且当时，存在极限：，则称叫在点先后的二次累次极限：，注：一般情况下不一定等于C.实际上二次累次极限就是两次求一次元函数的极限，只须用求一元函数的极限方面的知识就能求二次累次极限。例：求因为二重极限和二次累次极限是两个完全不同的概念，它们没有必然的联系。注：1. 因为两个累
12、次极限：实上是对的一元函数不同顺序的极限，所以两个累次极限可能不同，甚至一个存在另一个不存在；例如：不存在（存在，时不存在）；而累次极限可以不存在.注2. 二重极限存在，但累次极限可能不存在；或两个累次极限存在相等，但二重极限可能不存在：例如：，在原点（0,0）两个累次极限存在且相等，但二重极限不存在；例. 证明：函数在（0,0）二重极限存在，但累次极限不存在.证明：显然，累次极限的计算要比二垂极限简单得多，所以我们希望通过累次极限来计算二重极限，那么在什么条件下它们相等吗？4. 定理：若二元函数的二重极限和累次极限（都存在，则：推论：（充分条件）：若下面三个极限都存在：，则两个累次极限存在且
13、相等；等于其二垂极限：例：已知：存在点（0,0）存在二重极限，求；作业：P15674. 二元函数的连续性我们曾经定义了一元函数一元函数在一点：连续：若，则称在点连续.这个定义我们可以推广到二元函数和元函数上去：（1）定义：设二元函数在区域有定义，点(a,b)，若：，则称在(,)连续.讨论：上面定义用“点表示法”怎样书写：设函数在区域有定义，点，若，则称二元函数。即：设是区域的点，在，例：已知.定义：若二元函数在区域的每一点都连续，则称在区域连续。2、连续函数的性质（150）1）若在点都连续，则；，（）在点也连续，称为连续函数的四则运算。2）连续函数的复合函数也连。（P150）3）Th4（保号性
14、）4）若二元函数关于或的一元是初等函数，则称是二元初等函数。二元初等了函数在有定义的点都连续，（一般地，用一个解析式表达的二元函数都是初等函数）。请同学们自学 Th3Th8下面介绍一个间断点的概念：请大家想一想在点连续应满足几个条件：1）在有定义；2）存在极限；3）在的极限值等于其函数值。上面三条任破坏一条，函数在点都不连续。定义：若在不连续，则称是的间断点（或不连续点）。二元函数的间断点集常常是平面上的一条曲线。（裂缝）例：求下列函数的间断点，并指出其图形1） 2）解：1）由得。间断点集(0,0)，且。例：求下列极限：1） 2） （令，则） 3）4）上面二元函数的定义和性质可以推广到元函数上去.作业：（参考）5；6.10作业评讲：1、下面做法是否正确，为什么？（是否正确关键是判别是否存在）上面做法不正确。由定理知：必须是二重极限和累次极限存在时，才能象上面这样做。正确做法：令，则原式=2（）=2（）2、注：令，则.3、若将函数限制在区域=(x,y)|y|x2，例
