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1、 概率论与数理统计每章自测试题及答案习题 一1设ABC为三个事件试用ABC的运算关系式表示以下事件1 A发生BC都不发生 2 A与B发生C不发生3 ABC都发生 4 ABC至少有一个发生5 ABC都不发生 6 ABC不都发生7 ABC至多有2个发生 8 ABC至少有2个发生解1 A 2 AB 3 ABC4 ABC CBABCACABABC 5 6 7 BCACABCAB 8 ABBCCA ABACBCABC2设AB为随机事件且PA 07P AB 03求P解 P 1PAB 1P A P AB 10703 063设AB是两事件且PA 06P B 07求1 在什么条件下PAB取到最大值2 在什么条件
2、下PAB取到最小值解1 当AB A时PAB取到最大值为062 当AB 时PAB取到最小值为034设ABC为三事件且PA PB 14PC 13且PAB PBC 0PAC 112求ABC至少有一事件发生的概率解 PABC P A P B P C P AB P BC P AC P ABC 5从52张扑克牌中任意取出13张问有5张黑桃3张红心3张方块2张梅花的概率是多少解 p 6对一个五人学习小组考虑生日问题1 求五个人的生日都在星期日的概率 2 求五个人的生日都不在星期日的概率3 求五个人的生日不都在星期日的概率解1 设A1 五个人的生日都在星期日 根本领件总数为75有利事件仅1个故 PA1 5 亦
3、可用独立性求解下同2 设A2 五个人生日都不在星期日 有利事件数为65故PA2 5 3 设A3 五个人的生日不都在星期日 PA3 1P A1 1 57一批产品共N件其中M件正品从中随机地取出n件n N试求其中恰有m件mM正品记为A的概率如果1 n件是同时取出的2 n件是无放回逐件取出的3 n件是有放回逐件取出的解1 PA 2 由于是无放回逐件取出可用排列法计算样本点总数有种n次抽取中有m次为正品的组合数为种对于固定的一种正品与次品的抽取次序从M件正品中取m件的排列数有种从NM件次品中取nm件的排列数为种故PA 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出故上述概率也可写成PA 可以看出用第二种方法简便
4、得多3 由于是有放回的抽取每次都有N种取法故所有可能的取法总数为Nn种n次抽取中有m次为正品的组合数为种对于固定的一种正次品的抽取次序m次取得正品都有M种取法共有Mm种取法nm次取得次品每次都有NM种取法共有NMnm种取法故此题也可用贝努里概型共做了n重贝努里试验每次取得正品的概率为那么取得m件正品的概率为8 50只铆钉随机地取来用在10个部件上其中有3个铆钉com强度太弱的铆钉都装在一个部件上那么这个部件强度就太弱求发生一个部件强度太弱的概率是多少解设A 发生一个部件强度太弱 9一个袋内装有大小相同的7个球其中4个是白球3个是黑球从中一次抽取3个计算至少有两个是白球的概率解 设Ai 恰有i个
5、白球 i 23显然A2与A3互斥故 104有甲乙两批种子发芽率com在两批种子中各随机取一粒求1 两粒都发芽的概率2 至少有一粒发芽的概率3 恰有一粒发芽的概率解设Ai 第i批种子中的一粒发芽 i 12 1 2 3 11掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止1 问正好在第6次停止的概率2 问正好在第6次停止的情况下第5次也是出现正面的概率解1 2 12甲乙两个篮球运发动投篮命中率com每人各投了3次求二人进球数相等的概率解 设Ai 甲进i球 i 0123Bi 乙进i球 i 0123那么 03207613从5双不同的鞋子中任取4只求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率解 14某地某天下雪的概率
6、为03下雨的概率为05既下雪又下雨的概率为01求1 在下雨条件下下雪的概率2 这天下雨或下雪的概率解 设A 下雨 B 下雪 1 2 15一个家庭有3个小孩且其中一个为女孩求至少有一个男孩的概率小孩为男为女是等可能的解 设A 其中一个为女孩 B 至少有一个男孩 样本点总数为23 8故或在缩减样本空间中求此时样本点总数为7165的男人和025的女人是色盲现随机地挑选一人此人恰为色盲问此人是男人的概率假设男人和女人各占人数的一半解 设A 此人是男人 B 此人是色盲 那么由贝叶斯公式17两人约定上午9001000在公园会面求一人要等另一人半小时以上的概率题21图 题22图解设两人到达时刻为xy那么0x
7、y60事件一人要等另一人半小时以上等价于xy 30如图阴影局部所示18从01中随机地取两个数求1 两个数之和小于的概率2 两个数之积小于的概率解 设两数为xy那么0 xy 11 xy 2 xy 19设P 03P B 04P A 05求PBA解 20在一个盒中装有15个乒乓球其中有9个新球在第一次比赛中任意取出3个球比赛后放回原盒中第二次比赛同样任意取出3个球求第二次取出的3个球均为新球的概率解 设Ai 第一次取出的3个球中有i个新球 i 0123B 第二次取出的3球均为新球 由全概率公式有21 按以往概率论考试结果分析努力学习的学生有90的可能考试及格不努力学习的学生有90的可能考试不及格据调
8、查学生中有80的人是努力学习的试问1考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人2考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人解设A 被调查学生是努力学习的 那么 被调查学生是不努力学习的 由题意知PA 08P 02又设B 被调查学生考试及格 由题意知PBA 09P 09故由贝叶斯公式知1即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2702 2 即考试不及格的学生中努力学习的学生占307722 将两信息分别编码为A和B传递出来接收站收到时A被误收作B的概率为002而B被误收作A的comB传递的频繁程度为21假设接收站收到的信息是A试问原发信息是A的概率是多少解 设A 原发信息是A 那么 原发信息是B C 收
9、到信息是A 那么 收到信息是B 由贝叶斯公式得23在已有两个球的箱子中再放一白球然后任意取出一球假设发现这球为白球试求箱子中原有一白球的概率箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑白两种解设Ai 箱中原有i个白球 i 012由题设条件知PAi i 012又设B 抽出一球为白球 由贝叶斯公式知24某工厂生产的产品中96是合格品检查产品时一个合格品被误认为是次品的概率为002一个次品被误认为是合格品的概率为005求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率解 设A 产品确为合格品 B 产品被认为是合格品 由贝叶斯公式得29某保险公司把被保险人分为三类谨慎的一般的冒失的统计资料说明上述三种人在一年内发生事
10、故的概率依次为005com如果谨慎的被保险人占20一般的占50冒失的占30现知某被保险人在一年内出了事故那么他是谨慎的的概率是多少解 设A 该客户是谨慎的 B 该客户是一般的 C 该客户是冒失的 D 该客户在一年内出了事故 那么由贝叶斯公式得30加工某一零件需要经过四道工序设第一二三四道工序的次品率分别为002003005003假定各道工序是相互独立的求加工出来的零件的次品率解设Ai 第i道工序出次品 i 123425设每次射击的命中率为02问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于09解设必须进行n次独立射击即为 故 n11至少必须进行11次独立射击26证明假设PAB P A
11、 那么AB相互独立证 即亦即 因此 故A与B相互独立27三人独立地破译一个密码他们能破译的概率分别为求将此密码破译出的概率解 设Ai 第i人能破译 i 123那么28甲乙丙三人独立地向同一飞机射击设击中的概率分别是040507假设只有一人击中那么飞机被击落的概率为02假设有两人击中那么飞机被击落的概率为06假设三人都击中那么飞机一定被击落求飞机被击落的概率解设A 飞机被击落 Bi 恰有i人击中飞机 i 0123由全概率公式得 040503060503060507 02 040503040507060507 06040507 0458习题二1一袋中有5只乒乓球编号为12345在其中同时取3只以X
12、表示取出的3只球中的最大号码写出随机变量X的分布律解故所求分布律为X345P0103062设在15只同类型零件中有2只为次品在其中取3次每次任取1只作不放回抽样以X表示取出的次品个数求1 X的分布律2 X的分布函数并作图 3 解故X的分布律为X012P2 当x 0时Fx PXx 0当0x 1时Fx PXx P X 0 当1x 2时Fx PXx P X 0 P X 1 当x2时Fx PXx 1故X的分布函数 3 3射手向目标独立地进行了3次射击每次击中率为08求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数并求3次射击中至少击中2次的概率解设X表示击中目标的次数那么X 0123故X的分布律为X012
13、3P0008009603840512分布函数41 设随机变量X的分布律为P X k 其中k 0120为常数试确定常数a2 设随机变量X的分布律为P X k aN k 12N试确定常数a解1 由分布律的性质知故 2 由分布律的性质知即 5甲乙两人投篮投中的概率分别为0607今各投3次求1 两人投中次数相等的概率2 甲比乙投中次数多的概率解分别令XY表示甲乙投中次数那么Xb306Yb 307 1 2 02436设某机场每天有200架飞机在此降落任一飞机在某一时刻降落的概率设为002且设各飞机降落是相互独立的试问该机场需配备多少条跑道才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于001 每条跑道只能允许一架飞机降落 解设X为某一时刻需立即降落的飞机数那么Xb 200002 设机场需配备N条跑道那么有即 利用泊松近似查表得N9故机场至少应配备9条跑道7有一繁忙的汽车站每天有大量汽车通过设每辆车在一天的某时段出事故的概率为00001在某天的该时段内有1000辆汽车通过问出事故的次数不小于2的概率是多少利用泊松定理解设X表示出事故的次数
