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1、【包哥数学】抽象函数专项抽象函数简介抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的某些特性、性质或某些特殊关系式的函数，因此做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。抽象函数某些模型根据抽象函数的某些性质，联想到所学的基本初等函数模型，将抽象具体化,有助于分析问题。抽象函数f()具有的性质联想到的函数模型f(x1+x2)=f(x1)+f(x）;f(x-2)=f(x)-(x2)正比例函数模型：（)=kx(k0)f(xx2)=f(x1)f（x2);f(x1-x）=(1)f(x)指数函数模型:f(x)=ax (0且a）f（x1x2)=f(x1)+f(x2);
2、f(xx2）=f(x1)-f(x2);(x1，x2R+)对数函数模型:f(x)=logax (0且a1)例题:例：f (）在R上是增函数,且f(x)=()+f ()，若(3）=1,f（x)f(）2,求x的范畴 。 例2:设函数f（x)的定义域为R,对于任意实数m、，总有(m+n)=(m)f()，且0时，0f(x)1.（1）证明:f(0)=1;且1;(）证明:f(x)在R上单调递减；（3)设A=（x,y)f （x2)f(y)f(1),B=（x,y)f (ax-+2)=1,若AB=,拟定的范畴。抽象函数的对称性(中心对称、轴对称)和周期性先深刻理解奇函数,偶函数概念措施：用哪个数替代x一、 抽象函
3、数的对称性定理. 若函数y=f （） 定义域为，且满足条件:f（a+)=f ()，则函数yf（)的图象有关直线=对称。推论1. 若函数yf(x）定义域为R，且满足条件:f（a+x)f (a-x) （或f (a-x）=f (x) ),则函数f （x)的图像有关直线x=对称。推论2. 若函数=f() 定义域为R,且满足条件：f(a+x）=f (ax）, 又若方程 (x)=0有n个根,则此个根的和为 。定理2. 若函数y (x) 定义域为R，且满足条件： (a+)f(b-x)=c,（a,b,c为常数），则函数y=f（x) 的图象有关点 对称。推论.若函数=f(x) 定义域为R，且满足条件:f (a+
4、）+f(a-x)=，(为常数）,则函数=f(x) 的图象有关点（ ,0)对称。理解定理3.若函数y=f (）定义域为R,则函数y=f (a+x) 与=f （-x)两函数的图象有关直线x=对称。对任意x0,令0=b-x1,则x+x1=b-此时令y=(ax0)=(b-1），则(x0，y)在第一种函数图像上,(x1,y)在第二个函数图像上由于x0+x1b-a,因此有x0-(b-a)/2(b-a）2x1，(x0,y)和（,y)有关直线=(ba)/2对称因此这两个函数的图像有关直线x=(-a)/2是对称的定理4.若函数y=f（x)定义域为R，则函数yf (+x) 与y=c-f (-x)两函数的图象有关点
5、对称。二、抽象函数的周期性命题1：若是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x,满足下列条件之一，则函数y=f（x）是周期函数函数y=(x)满足(x+)=f（x),则()是周期函数,且2是它的一种周期.函数=(x)满足f（+a)=，则f(x）是周期函数，且2是它的一种周期函数=f（x)满足(x+a）(）=1，则()是周期函数,且a是它的一种周期.命题2：若a、b()是非零常数,对于函数y=f()定义域的一切x,满足下列条件之一,则函数yf()是周期函数.(1) 函数y=f(x)满足f(xa）=f(x+b),则f（x)是周期函数,且|a-b|是它的一种周期.(2）函数图象有关两条直线x=a,
6、x=b对称，则函数=f（x）是周期函数，且2|-b|是它的一种周期.(3） 函数图象有关点（,)和点N(,0）对称,则函数yf(x)是周期函数，且a-是它的一种周期(4)函数图象有关直线x=a，及点M（b，）对称，则函数y=f（x)是周期函数，且4|是它的一种周期命题3:若是非零常数,对于函数=f(x)定义域的一切x,满足下列条件之一,则函数=(x)是周期函数()若f(x)是定义在R上的偶函数,其图象有关直线=对称，则(x)是周期函数，且2是它的一种周期.（2)若f（x)是定义在R上的奇函数,其图象有关直线x=a对称,则f(x)是周期函数，且a是它的一种周期.我们也可以把命题3当作命题2的特例
7、,命题中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一种.下面证明命题3（1）,其她命题的证明基本类似设条件A:定义在上的函数(x)是一种偶函数.条件B: f（)有关x=对称条件C:f（)是周期函数,且a是其一种周期 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一种. 证明: 已知A、 C（全国高考第22题第二问)f(x)是上的偶函数f(-）=f（x) 又(x）有关=a对称f(-x)=f(x2a) （)=f(x+2a)f(x)是周期函数,且2a是它的一种周期 已知A、CB 定义在R上的函数f（x)是一种偶函数f(）f(x) 又2a是f(x)一种周期f(x)=f(x+a) （-x)=（+
8、2) f(x)有关x对称 已知C、B f()有关x=a对称(-)f(x+2a）又2a是f(x)一种周期f(x)=f(x+a) f(-x)f(x） f（)是R上的偶函数 由命题3()，我们还可以得到结论:（x)是周期为的奇函数，则f()0【f（x+)f(x）,令-T/2,f(/2)=f(-T2)，(x)为奇函数,因此f（/2)=f(-T2)=-f(T/2)则2f(T)0,f(T/2)=】基于上述命题论述,可以发现，抽象函数具有某些关系。根据上述命题,我们易得函数周期,从而解决问题。习题：1.若函数f（x）=+x+对于任意实数t均有f(+t)= f(1-t),那么( ）Af（2) f(1) (4）
9、. f（1） （2) f（4）C.()f（4） f（1）D (4） f(） f(）解析:在f(3+t)= f（1)中(3+)+(t）=因此抛物线f()=2+bxc的对称轴为x=作示意图如图1,可见,应选A。2.设（x）是定义在R上的奇函数,且f(x-2)- f（x)，给出下列四个结论:f(2)=0；(x）是以4为周期的函数;(）的图像有关直线=2对称；（x2）=f（ ）其中所有对的命题的序号是_。解析：(1)由于= （)(xR）是奇函数,因此f(-x)= f（x)令x=0，得f（0）=f（0)因此(）=0又已知（2）=- f(x）令x=2，得f（0)=-f(2)因此f(2）=- （0)=0故成
10、立。(2)由于f（)=- f（），因此由x-(x-4）4(两自变量相减得常数)因此(x)是以4为周期的周期函数。故成立。（3）由f（x+）= f(-x）得：(x2)+(-x)=2（两自变量相加得常数）因此f()的图像有关直线x1对称。而不是有关直线=2对称。故是错误的。(4）由(2)知，f(x)应满足f(x+2）= f(x2)而（x-2)=-f（x）因此(x+2）= -f(x)= f(x)故成立。综上所述，应填。3 函数的图像有关直线=对称，则a_。解析:由于函数的图像有关直线=对称因此有（与题设矛盾,舍去）或因此。.函数yf（x)在(0,2）上是增函数,函数y=(+2）是偶函数,则下列结论中
11、对的的是（ ）A.（）()f() B.f()f() f（). ()f(）f(1) D.f()(1) ().解析：函数=f（x+2)是偶函数，f（x+2)=(-x+2)x2为y=f（x)图像的对称轴【也可根据yf(x+2)yf(x)向右平移两个单位知x=为y=f（x)图像的对称轴】函数yf（x）在(2，4)上是减函数,且（1)=f()523f3f(72)，选B5.f(x）满足f() =-f(6x)，(x)= (2-x),若f(a） =-（)，a5,且f(x）在5，9上单调.求a的值. 包哥解析:由f() =(-)，(x）=f（2-)得f(2-x)= -f(6x)用x替代-x， f(2x) (6)
12、；用x+替代x，f(x）= -f(x+4);用4替代x,f（x）=f(x+8)=-f(),即f(x）=f(x+8)，T=f()=f(08）=(0)又f(a)-() f（a)f()又f(x)=-f(6-x) ()=-f(6) f(a)=f(）5，9且f（)在,上单调a =拟定方程根的个数已知f（）是定义在上的函数,f() f(4x)，f(7+x) f（7x),f（0)0，求在区间1000，10上f(x)=0至少有几种根？解：由f(7+x)= f(7),用x-替代，f(x)=f（14x)f(-x)=f(14),用x替代4-x故f(10)=f(x) f()=f（0) 又f(4)f()=0即在区间(0
13、，10上,方程(x)=0至少两个根又f(）是周期为0的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程(x)=0在区间-100,100上至少有1+=01个根.12.（仙游一中高一数学期末)在实数集上定义一种新运算“”,对于任意给定的，为唯一拟定的实数，且具有下面三个性质: 有关函数的性质，有如下说法:在区间上函数的最小值为； 函数为奇函数；函数的单调递增区间为.其中所有对的说法的个数为（） A. B. C D解析:B由新运算“”的定义（3)令c0，则bab+a+b=x+1x+1(对勾函数）f(x）1-1x2，令f（x)=0,则=，当x(-,-1）或（1，）时,f(）0函数f(x)的单调递增区间为（-,-1）、(1，）.故对的；对的,错误,f(-）-(x)1.（厦门市高中毕业班模拟试题）已知函数fx+12=x3+x-x+1，若f（sin+cos
