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1、希望杯第三届（1992年）初中二年级第二试试题 一、选择题（:每题1分，共10分）173282-73252= A47249B45829. C43959D44969 2长方形如图43已知AB=2，BC=1，则长方形的内接三角形的面积总比数( )小或相等 A.; B.1; C.; D.3当x=6，y=8时，x6+y6+2x4y2+2x2y4的值是 A1200000-254000. B1020000-250400C1200000-250400. D1020000-2540004等腰三角形的周长为a(cm)一腰的中线将周长分成53，则三角形的底边长为 A.; B.; C. 或; D.5.适合方程+3x
2、2+6xz+2y+y2+3z2+1=0的x、y、z的值适合 A.;B.;C.;D. 6.四边形如图44,AB=,BC=1, A=B=C=300,则D点到AB的距离是 A.1; B.; C.; D.7在式子|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，用不同的x值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是 A1B2. C3D48一个等腰三角形如图45顶角为A,作A的三等三分线AD，AE（即1=2=3），若BD=x，DE=y，EC=z，则有 AxyzBx=zy. Cx=zyDx=y=z9已知方程(a+1)x2+(|a+2|-|a-10|)x+a=5有两个不同的实根，则a可以是 A5B9.
3、C10D1110.正方形如图46,AB=1,和都是以1为半径的圆弧,则无阴影的两部分的面积的差是 A.; B.; C.; D.二、填空题（每题1分，共10分）1.方程的所有根的和的值是_.2.已知a+b=,a-b=,那么ab=_. 3如图47，在ABC中，ACB=60，BAC=75，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE交于H，则CHD=_4.已知x=,那么+1的值是_5如图48，已知边长为a的正方形ABCD，E为AD的中点，P为CE的中点，那么BPD的面积的值是_6. 已知x+y=4,xy=-4, 那么=_.7在正ABC中（如图49），D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四
4、边形ADPE与BPC的面积相等，那么BPE=_8.已知方程x2-19x-150=0的一个正根为a,那么+=_.9某校男生若干名住校，若每间宿舍住4名，则还剩20名未住下；若每间宿舍住8名，则一部分宿舍未住满，且无空房，该校共有住校男生_名10n是自然数，19n+14与10n+3都是某个不等于1的自然数d的倍数，则d=_三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果，每题5分，共10分）1 若a，b，c，d0，证明：在方程 ,中,至少有两个方程有不相等的实数根.2(1)能否把1，2，1992这1992个数分成八组，使得第二组各数之和比第一组各数之和多10，第三组各数之和比第二组各数之和多10，最后第
5、八组各数之和比第七组各数之和也多10？请加以说明(2)把上题中的“分成八组”改为“分成四组”，结论如何？请加以说明如果能够，请给出一种分组法答案与提示一、选择题提示：5等式2x+x2+x2y2+2=-2xy化简为(x+1)2+(xy+1)2=0x+1=0，xy+1=0解之得x=-1，y=1则x+y=0应选(B)6由题设得：xy=1，x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993，得2(x+y)2+193xy=1993将xy=1，x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)2=900，即4n+2=30n=7应选(A)7由A=36，AB=AC，可得B=C=72ABD=CBD=36，BDC=72
6、AD=BD=BC由题意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD应选(B)8原方程化为(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0即|x-1|2-5|x-1|+6=0|x-1|=2，或|x-1|=3x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4则x1+x2+x3+x4=4应选(D)9连结CB,AB=BB,SBBC=SABC=1,又CC=2BCSBCC=2SBBC=2SBBC=3同理可得SACC=8,SABA=6SABC=3+8+6+1=17应选(D)10原方程为|3x|=ax+1(1)若a=3，则|3x|=3x+1当x0时，3x=3x+1，不成立(2)若a3综
7、上所述，a3时，原方程的根是负数应选(B)另解：（图象解法）设y1=|3x|，y2=ax+1。分别画出它们的图象从图87中看出，当a3时，y1=|3x|的图象直线y2=ax+1的交点在第二象限二、填空题提示：149=77，所求两数的最大公约数为7，最小公倍数为42设a=7m，b=7n，(mn)，其中(m，n)=1由ab=(a，b)a，b7m7n=742，故mn=6又(m，n)=1，m=2，n=3，故a=14，b=21经检验，142+212=637这两个数为14，2121993=11993=(-1)(-1993)，(1993为质数)而x1x2=1993，且x1，x2为负整数根，x1=-1，x2=
8、-1993或x1=-1993，x2=-1则4设SBOC=S，则SAOB=6-S，SCOD=10-S，SAOD=S-1由于S(S-1)=(6-S)(10-S)，解之得S=46432=184919001936=442，又193619932025=452其他都不合适此时所求方程为14x2-53x+14=08过E作EHBC于HADBCEHAD又ACE=BCE，EAAC，EHBCEA=EH，AEC=HECEHAD，HEC=AFE，AEF=AFEAE=AF，EH=AF即可推出AGFEHBAG=EB=AB-AE=14-4=10BG=AB-AG=14-10=410设初一获奖人数为n+1人，初二获奖人数为m+1
9、人(nm)依题意有3+7n=4+9m，即7n=9m+1由于503+7n100，504+9m100得n=7，8，9，10，11，12，13m=6，7，8，9，10但满足式的解为唯一解：n=13，m=10n+1=14，m+1=11获奖人数共有14+11=25（人）三、解答题1解：若不考虑顺序，所跑的路线有三条：OABCO（或OCBAO），OACBO（或OBCAO），OBACO（或OCABO）其中OABCO的距离最短记d(OABCO)，d(OACBO)，d(OBACO)分别为三条路线的距离在AC上截取AB=AB，连结OB则ABOABOBO=BOd(OABCO)-d(OACBO)=(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO)=AB+CO-AC-BO=AB+CO-ABBCBO=CO-(BC+BO)0同理可得，d(OABCO)-d(OBACO)0所以路线OABCO的距离最短因此x与-y是关于t的方程解二：由已知条件得两边加上a4+1，得显然0a1，0a21
