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1、2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法练 习1.（1）（2）是方程的组解； （3）（4）不是方程组的解2（1） （2） （3） （4） 2.3.2 一元二次不等式解法练 习1（1）x1，或x； （2）3x4； （3）x4，或x1； （4）x42不等式可以变为(x1a)( x1a)0， （1）当1a1a，即a0时，1ax1a； （2）当1a1a，即 a0时，不等式即为(x1)20，x1； （3）当1a1a，即a0时，1ax1a 综上，当a0时，原不等式的解为1ax1a； 当a0时，原不等式的解为x1； 当a0时，原不等式的解为1ax1a习题23A 组1（1） （2） （3） （4）2
2、（1）无解 （2） （3）1x1 （4）x2，或x2 B 组1消去，得 当,即时，方程有一个实数解 将代入原方程组，得方程组的解为2不等式可变形为(x1)(xa)0 当a1时，原不等式的解为1xa； 当a1时，原不等式的无实数解； 当a1时，原不等式的解为ax1C 组1由题意，得 1和3是方程2x2bxc0的两根， 13，13， 即b4，c6 等式bx2cx40就为4 x26x40，即2 x23x20， x22yx2mx2(x)22 ， 当02，即0m4时，k2 ； 当0，即m0时，k2； 当2，即m4时，k2m2 31 相似形3.1.1平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些
3、线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.图3.1-1在一张方格纸上，我们作平行线（如图3.1-1），直线交于点，另作直线交于点，不难发现我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图3.1-2，有.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.例1 如图3.1-2， ，且求.图3.1-2解 例2 在中，为边上的点，求证：.证明（1） ，证明（2） 如图3.1-3，过作直线，.过作交于，得，图3.1-3因而 从上例可以得出如下结论：平行于三
4、角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例3 已知，在上，能否在上找到一点，使得线段的中点在上.解 假设能找到，如图3.1-4，设交于，则为的中点，作交于.，且，且为的中点.图3.1-4可见，当为的中点时，的中点在上.我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.例4 在中，为的平分线，求证：.证明 过C作CE/AD，交BA延长线于E，AD平分图3.1-5由知.例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的
5、两边之比）.练习11如图3.1-6，下列比例式正确的是（ ）A B C D.图3.1-62如图3.1-7，求.图3.1-73如图，在中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长.图3.1-84如图，在中，的外角平分线交的延长线于点，求证：.图3.1-95如图，在的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE，DE延长线交BC的延长线于F.求证：.图3.1-103.12相似形我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？例5 如图3.1-11，四边形ABCD的对角线相交于点O，求证：.证明 在与中
6、，即.图3.1-11又与中，.例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC中，为直角，.求证：（1），；（2）图3.1-12证明 （1）在与中， 同理可证得.（2）在与中，我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用. 例7 在中，求证：.证明 ，为直角三角形，又，由射影定理，知.同理可得.图3.1-13.例8 如图3.1-14，在中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点.某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：图3.1-14（1） 当时，有.（如图3.1-14a）（2） 当时，有.（如图3.1-14b）（3） 当时，有.（如图3.1-14c）在图3.1-14d中，当时，参
7、照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论，并给出证明（其中n为正整数）.解：依题意可以猜想：当时，有成立.证明 过点D作DF/BE交AC于点F，D是BC的中点，F是EC的中点，由可知，.想一想，图3.1-14d中，若，则本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断探索的历史.练习21如图3.1-15，D是的边AB上的一点，过D点作DE/BC交AC于E.已知AD：DB=2：3，则等于（ ）图3.1-15A B C D2若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是，则梯形
8、的上、下底长分别是_.3已知：的三边长分别是3，4，5，与其相似的的最大边长是15，求的面积. 图3.1-164已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.（1） 请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；（2） 若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是菱形？是正方形？5如图3.1-17,点C、D在线段AB上，是等边三角形，（1） 当AC、CD、DB满足怎样的关系时，？图3.1-17（2） 当时，求的度数.习题3.1A组1 如图3.1-18，中，AD=DF=FB，AE=EG=GC，FG=4，则（ ）ADE=
9、1，BC=7 BDE=2，BC=6 图3.1-18CDE=3，BC=5 DDE=2，BC=8 2 如图3.1-19，BD、CE是的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则等于（ ）A1：3 B1：4 C1：5 D1：6图3.1-193 如图3.1-20，中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，已知BE：AB=2：3，求.图3.1-20图3.1-214 如图3.1-21，在矩形ABCD中，E是CD的中点，交AC于F，过F作FG/AB交AE于G，求证：.B组1 如图3.1-22，已知中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F，则的值为（ ）图3.1-22A B1 C D2 图
10、3.1-232 如图3.1-23，已知周长为1，连结三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（ ）A B C D 图3.1-243 如图3.1-24，已知M为的边AB的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分的面积与面积的比是（ ）A B C D 4 如图3.1-25，梯形ABCD中，AD/BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF/AD.（1） 求证：OE=OF；（2） 求的值；（3） 求证：.图3.1-25C组1 如图3.1-26，中，P是边AB上一点，连结CP.（1） 要使，还要补充的一个条件是_.（2） 若，且，则=_.图3
11、.1-262 如图3.1-27，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且.（1） 求证：；（2） 根据图形的特点，猜想可能等于那两条线段的比（只须写出图中已有线段的一组比即可）？并证明你的猜想.图3.1-273 如图3.1-28，在中，AB=AC，点D为BC上任一点，于F，于E，M为BC的中点，试判断是什么形状的三角形，并证明你的结论.图3.1-284 如图3.1-29a，垂足分别为B、D，AD和BC相交于E，于F，我们可以证明成立.图3.1-29若将图3.1-29a中的垂直改为斜交，如图3.1-29 b，相交于E，EF/AB交BD于F，则：（1） 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立
12、，请说明理由；（2） 请找出和之间的关系，并给出证明.3.1 相似形练习11D 2设，即.34作交于，则，又得.5作交于，即.练习21212，1834（1）因为所以是平行四边形；（2）当时，为菱形；当时，为正方形.5（1）当时，；（2）.习题3.1 A组1B 2.B 3.4为直角三角形斜边上的高，又可证.B组1C 2.C 3.A 4（1）.（2）（3）由（2）知C组1.(1)或.(2).2（1）先证，可得；（2）.3连交于，连，为等腰直角三角形，且AEDF为矩形，为斜边的中线，为直角三角形.又可证，得，故为等腰直角三角形.4（1）成立，（2），证略.3.2 三角形321 三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.图3.2-1图3.2-2如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.图3.2-3例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知 D、E、F分别为三边BC
