数学分析有答案的套题.doc

《数学分析有答案的套题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学分析有答案的套题.doc（57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、七章 实数的完备性判断题：1. 1. 设为开区间集,则H是(0, 1 )的开复盖.2. 2. 有限点集没有聚点.3. 3. 设S为 闭区间 , 若则 必为S的聚点.4. 4. 若存在, 则点集只有一个聚点.5. 5. 非空有界点集必有聚点.6. 6. 只有一个聚点的点集一定是有界点集.7. 7. 如果闭区间列满足条件 , 则闭区间套定理成立.8. 8. 若在上一致连续, 则在上连续.9. 9. 闭区间上的连续函数一定有界.10. 10. 设为R上连续的周期函数, 则在R上有最大值与最小值. 答案:证明题1. 1. 若A与B是两个非空数集,且有 , 则. 2. 证明: 若函数在单调增加, 且,

2、有(其中M是常数), 则 使 . 3. 证明: 若E是非空有上界数集, 设 且 , 则 存在数列, 有 . 4. 证明: 函数在开区间一致连续函数在开区间连续, 且与都存在. 5.设为单调数列,证明: 若存在聚点,则必是唯一的, 且为的确界. 6. 证明: 在上一致连续. 7. 证明: 为有界数列的充要条件是的任一子列都存在其收敛子列. 8. 设在上连续, 又有, 使 . 证明: 存在, 使得 .答案1.证明: 设 用反证法. 假设 即 有, 一方面, 则存在 另一方面, 则. 于是, 有, 与已知条件矛盾, 即 .2. 证明: 已知数集 有上界, 则其存在上确界, 设 由上确界的定义, ,

3、使得 ; 或 有 或 . 即 .3. 证明: 已知 , 由确界定义, , 有 , 有 , 并且 , 有 , 并且 于是, 得到数列. 有 . 4. 证明: 已知 在一致连续, 即, 有 显然 在连续, 且 , 有 .根据柯西收敛准则,函数在存在右极限同理可证函数在存在左极限.已知与存在, 将函数在作右连续开拓, 在作左连续开拓, 于是函数在闭区间连续, 从而一致连续, 当然在也一致连续. 5. 证明: 不妨设递增. (1) 先证若存在聚点必唯一. 假定都是的聚点, 且. 取, 由是聚点, 必存在又因递增, 故时恒有 于是, 在中至多含的有限多项, 这与是的聚点相矛盾. 因此的聚点存在时必唯一.

4、 (2) 再证上确界存在且等于聚点. 为上界. 如果某个, 则 时恒有, 取 则在内至多含的有限多项, 这与为的聚点相矛盾. 对由聚点定义, 必存在使. 由定义 .6. 6. 证明: 令 由于 , 而 时, 所以 在上连续, 又因 存在, 所以 在上一致连续,从而在上也一致连续, 即 在上一致连续.7. 7. 证明: 设为有界数列, 则的任一子列也有界, 由致密性定理知必存在其收敛子列. 设 的任一子列都存在其收敛子列. 若无界, 则对, 必存在正整数使得; 对存在正整数使得一般地,对, 存在正整数使得. 于是得到的子列, 它满足, 从而的任一子列必须是无穷大量, 与充分性假定相矛盾.8. 8

5、. 证: 因为有界数列, 故 必有收敛子列, 设 , 由于, 故 . 一方面, 由于在连续有再由归结原则有 ; 另一方面, 由 及 是的子列有 因此 第八章 不定积分 填空题1. .2. 若函数与是同一个连续函数的原函数, 则与之间有关系式_.3. 若 且 , 则 4. 若, 则5. 6. 若， 则作变换_计算.7. . 8. 9. 若, 则 .10. 过点斜率为的曲线方程为_.答案: 1. . 2. (C为任意常数). 3. . 4. . 5. 6. . 7. . 8. . 9. 10. 判断题:1. 1. 有理函数的原函数是初等函数.2. 2. 3. 3. 若函数存在一个原函数,则它必有无

6、限多个原函数.4. 4. 设是在区间I上的原函数,则在区间I上一定连续.5. 5. 函数的不定积分是它的一个原函数.6. 6. 的有理函数分解式为: 7. 7. 8. 8. 若函数在区间I上连续, 则它在区间I上必存在原函数.9. 9. 存在一些函数, 采用不同的换元法, 可以得到完全不同的不定积分.10. 10. 若, 则答案: 1-10 选择题：1下列等式中（ ）是正确的 2若满足则 ） 3若则（ ） 4设函数在上的某个原函数为零，则在上 （ ） A的原函数恒等于零. B. 的不定积分等于零. C. 不恒等于零但其导数恒等于零. D. 恒等于零.5. 下列凑微分正确的是 ( ) 6. (

7、) .7. 若, 则 ( ) 8. 函数的一个原函数是 ( ) 9. 若, 则( ) 10. 下列分部积分中对和选择正确的有 ( ) 答案：110 DCCDADCBBC计算题: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. . 8. 9. . 10. 答案:1. 1. 原式= .2. 2. 原式 3. 4. 5. . 6. 7. .8. .9. .10. .第九章 定积分一、 一、 选择题（每题2分）1、若，则（ ） （A）1 （B） （C）0 （D）2、若是奇函数，且在上可积，则下列等式成立的有（ ）（A） （B）（C） （D）3、设在上连续，则下面式子中成立的有（ ）（A） （B）（C） （D

8、）4、设为连续函数，则=（ ） （A） （B）0 （C）1 （D）25、函数在上连续是存在的（ ）（A） （A） 必要条件 （B）充要条件 （C）充分条件 （D）无关条件6、在上连续，则正确的是（ ） （A）是在上的一个原函数；（B）是在上的一个原函数；（C）是在上唯一的原函数；（D）是在上唯一的原函数7、=（ ） （A）0 （B）2e-2 （C） （D）8、已知，且，则（ ）（A） （B） （C） （D）9、下列关系中正确的有（ ）（A） （B）（C） （D）以上都不正确10、（ ）（A）（B）（C）（D）11、设，则（ ）；（A） （B） （C）（D）12、下列积分中可直接使用牛顿莱布尼兹

9、公式计算其值的是（ ）；（A） （B） （C） （D）13、设为连续函数，则积分（ ）（A）与有关 （B）与有关 （C）与有关 （D）仅与有关14、（ ）（A） （B）（C） （D）15、下列积分中，使用换元积分正确的是（ ）（A） （B）（C） （D）答案：ACACC ACCBD BAAAC二、 二、 填空题（每题2分）1、已知，则 .；2、比较大小： .3、= ；4、函数在区间上连续且平均值为4，则= ；5、设为连续函数，则 ；6、 ；7、 ；8、 ；9、设为连续函数，且则= ；10、设，若，则 ；11、已知，则 ；12、 ；答案：1、2、3、 4、12 5、 6、 7、8、 9、 10、 11、 12、三、计算题 （每题5分）1、 解：令，则， = = = 2、 = = 3、= = = 4、解：令， = = 5、= = = 6、= 则 = 7、解：为奇函数，且积分区间关于原点对称 8、= = = 9、= 解：令，= = 10、解：令，则，= = 11、解：令,则, = = 12、=+ = = 13、解：令