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1、江苏省淮安中学2015届高三第三次统测模拟测试（2） 数学试题 命题人：陈冬喜数学（I） 必做题部分注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1本试卷共4页，包含填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）本卷满分为160分，考试时间为120分钟考试结束后，请将答题卡交回2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效4如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗参考公式：棱锥的体积公式：，其中S是棱锥的底面积，h是棱锥的高.一
2、、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） k1开始输出k结束S6 S1YN SS(k1)2 kk11已知集合，则 2设是虚数单位，则复数的共轭复数为 3若为第四象限角，且，则 .4. 执行如图所示的流程图，则输出的k的值为 5.现有甲、乙、丙、丁四辆车，分两天对其进行检测，每天检测两辆车，则甲、乙两车在同一天被检测的概率为 日期频率组距151015202530(第8题图)6某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图已知从左到右各长
3、方形的高的比为234641，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为 7. 若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥A-BDA1的体积为 8在等差数列an中，a4a610，前5项和S55，则公差为_ 9设双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为2，则此双曲线的渐近线方程为_ _10.已知函数，过点且平行于轴的直线与曲线的交点为Q，曲线C过点Q的切线交轴于点R，则的面积为 11直角三角形ABC中，已知，则 的最小值为 12设均为正实数，且，则的最小值为 13在平面直角坐标系中，圆C的方程为若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是
4、14.设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. （本小题满分14分） 已知函数，点分别是函数图象上的最高点和最低点（1）求点的坐标以及的值；（2）设点分别在角的终边上，求的值16.（本小题满分14分） 已知四棱锥，底面为菱形，面面， _P_A_D_B_C（）求证：；（）若面面，求证：17. （本小题满分14分）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点A、B、C分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点C在点A的北偏东47方向，点B在点C的南偏西36方向，点B在点A的
5、南偏东79方向，且A、B两点的距离约为3海里。（1）求A、C两点间的距离；（精确到0.01）（2）某一时刻，我国一渔船在A点处因故障抛锚发出求救信号。一艘R国舰艇正从点C正东10海里的点P处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为PCA（直线行进），而我东海某渔政船正位于点A南偏西60方向20海里的点Q处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点M处，再折向点A直线航行，航速为22海里/小时。渔政船能否先于R国舰艇赶到进行救助？说明理由18. （本小题满分16分） 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： 1（ab0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为（1）求a，b的值（2）设P是椭圆C长
6、轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点（）若k1，求OAB面积的最大值； （）若PA2PB2的值与点P的位置无关，求k的值19（本小题满分16分）已知数列的前项和满足：（为常数，且）（1）求的通项公式；（2）设，若数列为等比数列，求的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围120（本小题满分16分）己知函数（，是自然对数的底）（1）当时，试确定函数单调区间；（2） 当，时，若对于任意，都有恒成立，求实数m的最小值；（3） 当时，设函数，是否存在实数，使得若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由江苏省淮安中学201
7、5届高三第三次统测模拟测试（2）数学(附加题)注意事项1本试卷共2页，均为解答题（第21题第23题，共4题）本卷满分为40分，考试时间为30分钟考试结束后，请将答题卡交回2作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效21.【选做题】本题包括A, B,C,D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A（本小题满分10分，几何证明选讲）如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E. 证明： AD
8、DE2PB2. B（本小题满分10分，矩阵与变换）设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长到倍的伸压变换（1）求矩阵的特征值及相应的特征向量；（2）求逆矩阵以及椭圆在的作用下的新曲线的方程 C（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴已知点P的直角坐标为(1，5)，点M的极坐标为(4，)，若直线l过点P，且倾斜角为 ，圆C以M为圆心、4为半径求直线l关于的参数方程和圆C的极坐标方程； D（本小题满分10分，不等式选讲）已知实数满足，求的最小值.必做题第22题，第23题，每题10分，共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.（本
9、小题满分10分)某次招聘考试，共有8道选择题，一名考生每道题都给出一个答案，考后这名考生对这八道题有这样的认识，确定有5道题的答案是正确的，而其余3道题中，有一道题可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断出一个选项是错误的，还有一道题因不了解题意而乱猜，如果每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的，评分标准为：“每题只有一个选项是正确的，选对得5分，不选或选错得0分。”如果全都答对才能被录取。（1）求该考生被录取的概率；（2）求该考生所得分数的数学期望。23.（本小题满分10分) 设数列满足。（1）当时，求证：；（2）当时，求证：.江苏省淮安中学2015届高三第三次统测模拟测试（2） 数学
10、试题 数学（I） 必做题部分参考答案一、填空题： 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.;8.; 9.; 10.; 11.; 12.; 13.; 14.二.解答题15.解（1），当，即时，取得最大值1，当即时，取得最小值因此，所求的坐标为，则（2）由题意知，则，所以16. 证明：因为面面，面面且所以面，所以，又因为底面为菱形，所以，面，故。（2）底面为菱形，面，面面又面面，面，17.解：（1）求得，2分由海里。 4分（2）R国舰艇的到达时间为：小时。1分在中， 得海里， 4分所以渔政船的到达时间为：小时。1 分因为，所以渔政船先到。 1分答：渔政船能先于R国舰艇赶到进行救助。 1
11、分18.解（1）由题设知，所以，因此（2）由（1）可得，椭圆C的方程为 y21设点P（m，0）（2m2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）()若k1，则直线l的方程为yxm联立直线l与椭圆C的方程，即将y消去，化简得 x22mxm210解之得x1， x2，从而有，x1x2， x1 x2，而y1x1m，y2x2m，因此，AB|，点O到直线l的距离d，所以，SOAB|AB|d|m|，因此，S2OAB( 5m2)m2()21 6分又2m2，即m20，4所以，当5m2m2，即m2， m时，SOAB取得最大值1 8分()设直线l的方程为yk(xm).将直线l与椭圆C的方程联立，即将y消去，化简得(
12、14k2)x28mk2x4(k2m21)0，解此方程，可得，x1x2，x1x2 10分所以，PA2PB2(x1m)2y12(x2m)2y22(x12x22)2m(x1x2)2m22 （*）. 14分因为PA2PB2的值与点P的位置无关，即（*）式取值与m无关，所以有8k46k220，解得k 所以，k的值为. 16分19.解（1）当时，得当时，即，所以，故成等比数列，且公比是，（2）由（1）知，即若数列是等比数列，则有，而故，解得，所以（3）由，知，由不等式恒成立，得，由，当时，当时，而，20.（1）解，得；得，故的单调增区间为；单调减区间为。（2）当时，即，对于任意，都有恒成立，等价于，对于任意恒成立，记，则，记，则对于任意上单调递增，在上有唯一的零点，在上单调递减，在上单调递增；的最大值是和中的较大的一个，且，且，的最小值为。（3）假设存在，使得，则问题等价于，所以当时，在上，在上单调递减，当时，在上，在上单调递增，。当时，在上，在上单调递减，在上在上单调递增，由（1）知，在上单调递减，故无解，综上所述，存在，使得命题成立。
