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1、高三必过关题9 立体几何一、填空题例1给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；存在每个面都是直角三角形的四面体；棱台的侧棱延长后交于一点其中正确命题的序号是_ 【答案】： 【提示】考点：空间几何体的结构特征不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；不正确，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台；正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的面角都是直二面角；正确，如正方体AC中的四棱锥CABC，四个面都是直角
2、三角形；正确，由棱台的概念可知例2给出下列命题：若平面内的直线与平面内的直线为异面直线，直线是与的交线，那么直线至多与、中的一条相交；若直线与为异面直线，直线与平行，则直线与异面；一定存在平面和异面直线、同时平行；若直线、异面，、异面，则、异面其中正确命题的序号是_【答案】：【提示】考点：空间两直线的位置关系错，可以与、均相交；错，因为与可能相交；对，可以将两异面直线与平移到空间内任意一点处，确定一个平面，该平面可以与、同时平行，并且这样的平面有无数多个错，、的位置关系可以平行、相交、异面。例3与正方体的三条棱、所在直线的距离相等的点有 个 【答案】：无数个【提示】：本题考查了空间想象能力.到
3、三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，三个圆柱面有无数个交点.例4过正方体的顶点A作直线L，使L与棱,所成的角都相等，这样的直线L可以作 条【答案】：4条【提示】：考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条。 例5如图，是平面的斜线段，为斜足若点在平 面 内运动，使得的面积为定值，则动点的轨迹是_(填“圆”“椭圆”“一条直线”“两条平行直线”)【答案】：椭圆【提示】考点：截面问题及空间想象能力考虑到三角形面积
4、为定值，底边一定，从而P到直线AB的距离为定值，若忽略平面的限制，则P轨迹类似为以AB为轴的圆柱面，加上后者平面，轨迹为圆柱面与平面的交集，轨迹为椭圆。例6一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为_【答案】： 【提示】：如图所示，以为直角顶点,为另两顶点，作于，作于F，过C作于G，由条件可设，在中，所以2(4)44，解得2，故2.例7棱长为a的正四面体(侧棱长等于底面边长的正三棱锥)ABCD的四个顶点均在同一个球面上，则此球的半径R_【答案】：a【提示】考点：相关组合体的转化和计算，借助球内接正方体 例8一个圆台的母线长为12 c
5、m，两底面面积分别为4 cm和25 cm，则(1)圆台的高为 ；(2)截得此圆台的圆锥的母线长为 【答案】： ；20【提示】考点：有关柱、锥、台、球的计算 例9如图，已知三棱锥ABCD的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于1，且BAC30，M、N分别在棱AC和AD上，则 BMMNNB的最小值为 【答案】： 【提示】考点：多面体(旋转体)表面上两点间的最短路径与展开图将三棱锥ABCD的侧面沿AB展开在同一平面上，如图所示例10正三棱锥中，分别是棱上的点，为边的中点，则三角形的面积为 【答案】：【提示】考点：线面垂直关系的应用由为边的中点得，又得且交于点，另由，可求得为的中点，从而，则的面积为。例1
6、1已知正四棱锥中，那么当该棱锥的体积最大时，则高为 【答案】：2【提示】考点：函数思想解决最值问题考察锥体的体积，考察函数的最值问题.设底面边长为a，则高所以，设，则，当y取最值时，解得或时，体积最大，此时。例12已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大（柱体体积=底面积高）时，其高的值为 【答案】：【提示】考点：截面图的应用及函数思想解决最值问题以正六棱柱的最大对角面作截面，如图。设球心为，正六棱柱的上下底面中心分别为,则是的中点。设正六棱柱的底面边长为，高为，则。正六棱柱的体积为，即，则，得极值点，不难知道这个极值点是极大值点，也是最大值点。故当正六棱柱的体积
7、最大，其高为。例13 圆锥的全面积为，侧面展开图的中心角为，则该圆锥的体积为 【答案】：【提示】考点：展开图及相关公式运用的考查 例14将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BDa， 则三棱锥D-ABC的体积为_【答案】：【提示】考点：图形的翻折和锥体体积的计算 例15如图，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且均为正三角形，=2，则该多面体的体积为 【答案】：【提示】考点：空间几何体体积的计算过两点分别作垂直于，垂足分别为、，连结、，可证得、，多面体分为三部分，多面体的体积为，作NH垂直于点H，则H为BC的中点，则， ， ，例16如图是一几何体的平面展开图，其中四边ABCD为正方形，
8、E、F分为PA、PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：直线BE与直线CF是异面直线；直线BE与直线AF是异面直线；直线EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正确结论的序号是_【答案】：【提示】考点：空间点线面的位置关系结合图形的翻折进行考查 由EFADBC，知BE、CF共面，错；正确；正确；错 例17已知是三个不同的平面，命题“”是真命题如果把中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有 个 【答案】: 2【提示】考点：空间线面关系的考查 例18设m，n是平面内的两条不同直线；，是平面内的两条相交直线，有下列四个命题：m且 ； m且n；m且n ； m且n. 其
9、中是成立的充分而不必要条件的命题的序号是_【答案】： 【提示】考点：面面平行的位置关系结合充要条件的考查 例19设m、n是异面直线，则(1)一定存在平面，使m且n； (2)一定存在平面，使m且n；(3)一定存在平面，使m、n到的距离相等；(4)一定存在无数对平面与，使m，n，且. 上述4个命题中正确命题的序号为_【答案】：【提示】考点：点、线、面位置关系相关知识点的考查 例20.如图，在三棱锥中，三条棱两两垂直，且,分别经过三条棱作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为则的大小关系为 【答案】：【提示】考点：棱锥的结构特征和转换思想通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令棱长为1，2，3，得
10、结论二、解答题例21如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点(1)若CD2，平面ABCD平面DCEF，求MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线【提示】考点：空间线面关系及反证法(1)取的中点，连结， 因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MGCD，MG2，NG.因为平面ABCD平面DCEF，所以MG平面DCEF.可得MGNG.所以(2)证明：假设直线ME与BN共面，则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN. 由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF,又ABCD，所以AB平面DCEF而EN为平面MBEN与平
11、面DCEF的交线，所以ABEN. 又ABCDEF，所以ENEF，这与ENEFE矛盾，故假设不成立所以ME与BN不共面，它们是异面直线例22如图，为空间四点在中，等边三角形以为轴运动（）当平面平面时，求；（）当转动时，是否总有？证明你的结论【提示】考点：面面垂直的性质及空间想象能力（）取的中点，连结,，因为是等边三角形，所以当平面平面时，因为平面平面，所以平面，可知由已知可得，在中，（）当以为轴转动时，总有证明如下（）当在平面内时，因为，所以都在线段的垂直平分线上，即（）当不在平面内时，由（）知又因，所以又为相交直线，所以平面，由平面，得综上所述，总有 例23如图，四边形ABCD为矩形，BC平面
12、ABE，F为CE上的点，且BF平面ACE(1)求证：AEBE；(2)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点，求证：MN /平面DAE【提示】：考点：线面垂直、线面平行的性质和判定的应用(1)因为BC平面ABE，AE平面ABE，所以AEBC，又BF平面ACE，AE平面ACE，所以AEBF，又BFBC=B，所以AE平面BCE，又BE平面BCE，所以AEBE(2)如图所示，取DE的中点P，连结PA，PN，因为点N为线段CE的中点所以PN/DC，且，又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，所以AM/DC，且，所以PN/AM，且PN=AM，故四边形AMNP是平行四边形，所以MN/AP，又AP
13、平面DAE，MN平面DAE，所以MN/平面DAE例24如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF/AC，AB=,CE=EF=1（）求证：AF/平面BDE；（）求证：CF平面BDE【提示】：考点：面面垂直的性质和判定、线面平行的判定（）设AC于BD交于点G。因为EFAG, 且EF=1，AG=AC=1 所以四边形AGEF为平行四边形， 所以AFEG，因为EG平面BDE, AF平面BDE, 所以AF平面BDE（）连接FG，因为EFCG,EF=CG=1, 且CE=1, 所以四边形CEFG为菱形。所以CFEG. 因为四边形ABCD为正方形，所以BDAC.又因为平面ACEF平面ABCD, 且平面ACEF平面ABCD=AC,所以BD平面ACEF. 所以CFBD.又BDEG=G, 所以CF平面BDE.例25如图甲，直角梯形ABCD中， 的中点，在上，且已知,现沿把四边形折起如图乙，使平面平面 (1) 求证：平面;(2) 求证：平面;(3) 求三棱锥的体积 【提示】：考点：借助平面的翻折考察线面平行与垂直（1）由题意知,面,同理，面又,面, 面,面面面 面 (2)在图甲中，,所以在图乙中 .平面平面,平面平面平面ABEF,又平面（3）平面平面,，平面,
