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1、例1已知数列an知足an12an32n，a12，求数列an的通项公式。解：an12an32nn1，得an1an3an1an3an两边除以2n1n，则n1n，故数列n是2222222以a121为首项，以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得an1(n1)3，2122312n2所以数列an的通项公式为an(n)2n。22评注：此题解题的重点是把递推关系式an12an32nan1an3转变为2n12n，说明数列an2an是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出1(n3nn1)，从而求出数列222an的通项公式。（2）累加法例2已知数列an知足an1an2n1，a11，求数列an的通项公式。
2、解：由an1an2n1得an1an2n1则an(anan1)(an1an2)L(a3a2)(a2a1)a12(n1)12(n2)1L(221)(211)12(n1)(n2)L21(n1)1(n1)n(n1)122(n1)(n1)1n2所以数列an的通项公式为ann2。评注：此题解题的重点是把递推关系式an1an2n1转变为an1an2n1，从而求出(anan1)(an1an2)L(a3a2)(a2a1)a1，即得数列an的通项公式。变式：已知数列an知足aa23n1，a3，求数列an的通项公式。n1n1（3）累乘法例3已知数列an知足an12(n1)5nan，a13，求数列an的通项公式。解：
3、由于an12(n1)5nan，a13，所以an0，则an12(n1)5n，故anananan1La3a2a1an1an2a2a12(n11)5n12(n21)5n2L2(21)522(11)5132n1n(n1)L325(n1)(n2)L2132n1n(n1)352n!2n1n(n1)所以数列an的通项公式为an352n!.评注：此题解题的重点是把递推关系an12(n1)5nan转变为an12(n1)5n，从而求an出anan1La3a2a1，即得数列an的通项公式。an1an2a2a1变式：已知数列an知足a11，ana12a23a3L(n1)an1(n2)，求an的通项公式。（4）待定系数
4、法例4已知数列n知足an12an35n，a16，求数列an的通项公式。a解：设an1x5n12(anx5n)将an12an35n代入式，得2an35nx5n12an2x5n，等式两边消去2an，得35nx5n12x5n，两边除以5n，得35x2x,则x1,代入式得an15n12(an5n)由a516510及式得a5n0，则an15n1，则数列an5n是以1nan5n2a1511为首项，以2为公比的等比数列，则an5n2n1，故an2n15n。评注：此题解题的重点是把递推关系式an12an35n转变为an15n12(an5n)，从而可知数列an5n是等比数列，从而求出数列an5n的通项公式，最后
5、再求出数列an的通项公式。变式：已知数列an知足an13an52n4，a1，求数列an的通项公式。1已知数列an知足an12an3n24n5，a11，求数列an的通项公式。（5）对数变换法例5已知数列an知足an123nan5，a17，求数列an的通项公式。解：由于an123nan5，a17，所以an0，an10。在an123nan5式两边取常用对数得lgan15lgannlg3lg2设lgan1x(n1)y5(lganxny)11将式代入11式，得5lgannlg3lg2(1)y5(lganxny)，两边消去xn5lgan并整理，得(lg3x)nxylg25xn5y，则lg3x5xxlg34
6、，故xylg2lg3lg25yy164代入11式，得lgan1lg3(n1)lg3lg25(lganlg3nlg3lg2)1241644164由lga1lg31lg3lg2lg3lg3lg20及124164lg741164式，得lganlg3nlg3lg20，4164lgan1lg3(n1)lg3lg2则41645，lg3nlg3lg2lgan4164所以数列lganlg3lg3lg2lg3lg3lg25为公比的等4n是以lg7416为首项，以1644比数列，则lganlg3nlg3lg2(lg7lg3lg3lg2)5n1，所以41644164lgan(lg7lg3lg3lg2)5n1lg3nlg3lg24164464111n11(lg7lg34lg36lg24)5n1lg34lg316lg24111n11lg(73431624)5n1lg(3431624)
