《第四讲级数与反常积分收敛的Abel—Dirichlet判别法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四讲级数与反常积分收敛的Abel—Dirichlet判别法（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四讲 级数与反常积分收敛的Abel Dirichlet判别法Abel判别法与Dirichlet判别法在数学分析课程教学中出现了四次，即 积分的“反常积分”部分与“含参变量积分”部分，级数的“数项级数”部分与 “函数项级数”部分，证明的关键是积分第二中值定理与Abel引理。如何讲好这两个内容是教学的关键。下面我们就“反常积分”部分与“数项级数”部分的 Abel判别法与Dirichlet判别法进行讲解。1 .积分的Abel判别法与Dirichlet判别法定理1 (Cauchy收敛原理) 反常积分& f(x)g(x)dx收敛的充分必要条件是：对任意给定的； 0,存在A。一 a，使得对任意A, A
2、_ Ao，有A*f (x)g(x)dx c Ke 。A定理2 (积分第二中值定理)设f (x)在a, b上可积，g(x)在a, b上单调,则存在 a, b，使得f(x)g(x)dx =g(a)(x)dx g(b) f(x)dx证 我们只对f (x)在a, b上连续，g(x)在a, b上单调且g(x)在a, b上可 积的情况加以证明。x记 F(X)二f (t)dt，则 F(x)在a, b连续，且 F(a)=0。由于 f(x)在a, b上a连续，于是F(x)是f(x)在a,b上的一个原函数，利用 分部积分法，有f(x)g(x)dx 二 F(x)g(x)：ba F(x)g (x)dx。上式右端的第一
3、项I bbF(x)g(x) a 二 F(b)g(b)二 g(b) a f (x)dx，而在第二项中，由于g(x)单调，因此g (x)保持定号，由积分第一中值定理，存在 a,b，使得b. b:1 F(x)g(x)dx = F(-)J g (x)dx = g(b) - g(a) J f(x)dx，aaa于是f f (x)g(x)dx =g(b) J： f (x)dx g(b) g(a)广 f (x)dxaaa匕b=g (a) f (x)dx + g(b血 f (x)dx。说明得到L f (x)g(x)dx g(A) JAfA*(x)dxg(A)论 f(x)dx在判断反常积分a 一 Y(x)g(x)
4、dx收敛时，我们将利用积分第二中值定理xx定理3 (反常积分的A-D判别法)若下列两个条件之一满足，则/f(x)g(x)dx 收敛：(1) (Abel判别法)f(x)dx收敛，g(x)在a, ：)上单调有界；aA(2) ( Dirichlet 判别法)F( A) = f (x)dx 在a,+=)上有界，g(x)在a,+血)上单调且lim g(x) = 0。证 设；是任意给定的正数。(1)若Abel判别法条件满足，记|g(x)|兰G。因为ff(x)dx收敛，由Cauchy收敛原理，存在A。_a，使得对任意A,A _ A0，有AFfA f(x)dxxx由积分第二中值定理，A， I E, A*L f
5、(x)g(x)dx 耳g(A) JAf(x)dxtg(Aj 论 f(x)dx v2Ge若Dirichlet判别法条件满足，记 F(A) M，此时对任意A,A_a，显然有A*fA f(x)dxaaJ f(x)dxJ f(x)dx2Maa因为 ximg(x)=o，所以存在A。 a，当x A时，有|g(x)卜：；。于是，对任意A,A- Ao，A，|. A*L f (x)g(x)dx 昶(A)寸Af (x)dxpg(A)论 f(x)dx c4M所以无论哪个判别法条件满足，由Cauchy收敛原理，都有 f(x)g(x)dx收a敛的结论。例1讨论/=s dx的敛散性。xA11解 1 sin xdx显然有界
6、，在1厂：）上单调且lim = 0，由Dirichlet判另 xj和xsin x法, 1 dx收敛。x但在1,：），有|si nx si n2x1 cos2x| x，因：cosdx收敛（仿照上面对 竺 dx的讨论），而丄dx发散，所以1 2x1 x1 2x-sin x dx发散。再由比较判别法，可知r sin x dx发散。1 x1 x因此，叱dx条件收敛。1 x 例2讨论=sinxarctanxdx的敛散性。1x-.sin x解 由例1，/dx收敛，而arctanx在1,：）上单调有界，由Abel判1 x别法，-：sinxarctanxdx 收敛。x当x . 3：）时，有sin xarcta
7、n xJ sin xxn x-：sin由比较判别法和乎|dx发散，可知xarctanxdx非绝对收敛x因此,:sin xarcta nxxdx条件收敛。2 .级数的Abel判别法与Dirichlet判别法cQ定理3 （Cauchy收敛原理）级数x anbn收敛的充分必要条件是：对任意n =1给定的；0，存在正整数N,使得n tpX akb K客k h十对一切n N与一切正整数p成立。k引理1 （Abel变换）设an, bn是两数列，记Bk二送0 （k = 1,2,），贝Ui #ppd akbk = ap Bp- (ak A ak) Bk O( 1 )k 4k 4证pp二 akbk = aiBi
8、 + 二 ak(B Bkj)k 4k=2pp=aiBi + a akBk - x akBkjk -2k -2p Ap A=二 ak Bk - :一 ak 1 Bk + ap Bpk 4k 4P=ap Bp-二(ak 1 ak)Bk。kJ上式也称为分部求和公式。事实上，Abel变换就是离散形式的分部积分公x式。记G(x) = ag(t)dt，则分部积分公式可以写成bb将数列的通项类比于函数：ak对应于f (x) , ap对应于f (b) , bk对应于g(x)，(2)将求和类比于求积分:kBk =為bi对应于i4xG(x) = ag(t)dt，pBp = 7 bi对应于i 二af(x)g(x)d
9、x = f(b)G(b)- aG(x)df(x)。G(b) =g(t)dt，将求差类比于求微分：a-ak对应于df (x)，则(1)式与(2) a式两者是一致的a5a4a3(a5 - a4)B4(a4 a3)B3a4b4a2a1(a2 -a1)B1a1b1厶BB1(a3- a2)B2a3b32 BB5上图是当an 0，bn 0，且an 单调增加时，Abel变换的一个直观的示意。 图中矩形0,bJ 0,a5 1被分割成9个小矩形，根据所标出的各小矩形的面积，即 得到p = 5的Abel变换：54-akbk =a5B5- (ak 1 _ ak )Bk。k=1k =1利用Abel变换即得到如下的Ab
10、el引理。 引理2 (Abel引理)设(1) ak 为单调数列；k Bk (Bk bi , k = 1,2,)为有界数列，即存在 M0,对一切k,成立| Bk |乞M，贝UpZ akbk 兰 M ( | a1 | +2 | ap | ) k证由Abel变换得由于 ak单调，所以 丨 ak 1 - akk 4P为(ak 出一 ak)= | apa1kApP送 akbk-| apBp | + 为 |ak半 一ak |Bkk吕kAM |ap 吃 |aok* ak |kVj于是得到PakbkkTM ( | ai I +2 | ap | )。qQ说明 在判断级数anbn的收敛性时，我们将利用下述形式的A
11、bel引理n =1n亠pakbkk =n 1乞 M (|an 1 |+2|an p |),其中送bi Mi出十定理4 (级数的A-D判别法)若下列两个条件之一满足,则级数V an bn收n =1敛:(1) (Abel判别法) an单调有界,O0 bn收敛;n dr n(Dirichlet 判别法) a.单调趋于0,丿瓦bi、有界qQ由于J bn收敛，则对于n T证(1)若Abel判别法条件满足，设丨an丨乞M ,任意给定的；0,存在正整数N,使得对于一切nN和p N，成立n和瓦bk V岂。n -P 对v akbk应用Abel引理，即得到k=n 1n 4pZ akbk 名(| an申 |+2心|
12、)兰 3M e o(2)若Dirichlet判别法条件满足，由于liman =0,因此对于任意给定的；0, n_c存在N,使得对于一切n N，成立I an | ：；。n -k设送 bi M，令 Bk=2：bi(k = 1,2,)，则n !；knI Bk应用Abel引理，同样得到2M (| an i |+2|an .p |) 6M ；对一切n N与一切正整数p成立。CO根据Cauchy收敛原理，即知anbn收敛。qQ例3设bn收敛，则由Abel判别法,n ：!1 n : 3n .- bnbnln红等等都收敛。n壬2n级数打bn ,nW . noO /Z 1+-n IqQ例4设数列 an 单调趋于0，则对一切实数x，级数an sin nx收敛。n=1证当x = 2k二时,fsinkx=c4cos沁x,2心22于是对一切正整数n，nsinkW.x sin 一 2由Dirichlet判别法，可知当COxm 2k n 时，二 an sinnx 收敛。n 3x=2k 二时,QOoo an sin nx = 0，于是得到对一切实数 x，an sinnx收敛n $n
